17. 막대, 거품, 자석(Rods, Bubbles, and Magnets)

오늘은 열역학을 일상의 다양한 현상에 적용해 보도록 하겠습니다. 지금까지 다룬 열역학에서의 메인 디쉬는 이상 기체(ideal gas)였습니다. 그러나, 물리학은 하나의 이론으로써 다양한 자연의 현상들을 설명하는 학문입니다. 따라서, 기체를 제외한 나머지 상(phase)에 대해서도 열역학 법칙이 적용되어야 합니다.

따라서, 이번 포스트에서 언급하게 될 중요한 주제들은 탄성 막대(elastic rod), 거품(bubble), 그리고 자석(magnet)입니다. 언뜻 보면 열역학과는 거리가 멀 것 같은데, 어떠한 내용인지 한 번 알아보도록 하겠습니다.

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개요

먼저, 우리는 기본적으로 열역학 제1법칙을 적용할 수 있습니다. 쉽게 말해서 에너지 보존 법칙, 사라지지 않고 형태가 바뀐다는 의미를 담고 있는 가장 근본적인 법칙이라고 할 수 있죠.

내부 에너지의 differential 표현을 열역학 항등식으로 표현해보면, dU = TdS- pdV 였습니다. 위에서 말한 세 가지의 다른 system을 분석하기 위해서는 '확장'이 필요합니다. 그 중 압력과 부피라는 개념을 '일반적인' 개념으로 바꾸어서 써보도록 하죠.

다음의 내용은 일반적인 일(generalized work)에 대한 표현을 보여줍니다.

dW = X dx로 표현합니다. 여기서 W를 일반화된 일이라고 하면, X는 '힘'과 관련되어 있는 항, 그리고 x는 '변위'와 관련되어 있는 항으로 표현할 수 있습니다. 기본적으로 '일'이라는 물리량은 힘과 힘이 작용된 거리(변위)로 정의되기 때문입니다. 따라서 억지로 외울 필요 없이, 일의 기본적인 정의를 따라가면 쉽게 기억할 수 있습니다.

그러므로, X를 일반화된 힘(generalized force), x를 일반화된 변위(generalized displacement)라고 부릅니다. 대표적인 예시는 다음과 같습니다.

적용할 수 있는 예시를 5개로 나누어서 보여주는데요, 우리는 지금까지 유체(fluid)를 다루어 왔던 것입니다. 이외에도 탄성막대, 유체 막, 유전체, 자석과 같은 계에도 일반화된 일을 적용할 수 있습니다.

탄성 막대(elastic rod)는 줄에 걸리는 장력 f(tension)과 줄의 길이 L(length)로써,

유체 막(fluid film)은 표면 장력 γ(surface tension)과 면적 A(area),

유전체(dielectric)는 전기장 E(electric field)과 전기 쌍극자 모멘트 p**(electric dipole moment)**,

자석(magnet)은 자기장 B(magnetic field)과 자기 쌍극자 모멘트 m(magnetic dipole moment)의 곱으로 일을 정의할 수 있습니다.

이것들을 이용하여 각각의 system을 분석해봅시다.

 

System

1) 탄성 막대(elastic rod)

먼저 탄성 막대입니다. 탄성에 대해서 기본적으로 다루어봅시다. 등온 영률(isothermal Young's modulus)이라는 물리량이 있습니다. 이것은 '탄성이 있는 막대에 변형력이 가해졌을 때 변형률이 얼마나 되는가를 나타내는 두 물리량 사이의 비'를 의미합니다. 여기서 변형력(혹은 응력이라고 부르기도 함, stress)은 물체가 변형이 이루어지는 상황에서 받는 힘입니다. 쉽게 말하면 찌그러트리거나, 늘리는 상황인 것이죠. 그리고 변형률(strain)은 힘을 가했을 때 변하는 '변위'를 의미하는 양입니다.

사진을 보면 알 수 있듯이 변형력은 면적에 가해지는 힘을 통해 정의되기 때문에, 압력과 같은 형태의 정의를 따라갑니다. df/A로 구할 수 있습니다(힘을 면적으로 나눈). 그리고 변형률은 길이가 중요한 물리량이 되므로, 원래의 길이에 대해 얼마나 변하는지에 대한 비, L/dL로 구할 수 있습니다.

이제 중요한 것은, 선형성이 적용되는 경우인데, 사실 자연계에서 일어나는 현상들의 대부분은 비선형적입니다. 하지만 특정 지점이나 상황에서 선형 근사를 할 수가 있죠. 탄성 막대가 상수 장력, 즉 일정한 힘을 받을 때의 선형 팽창률 α를 중점적으로 봅시다. 선형 팽창률은 온도에 대한 1계 미분으로 구해집니다.

선형 팽창률은 위와 같이 정의됩니다. 미분 항을 보면, 장력 f가 일정할 때 온도에 따른 길이를 나타냄을 알 수 있습니다. 그리고 일반적으로 "팽창"이라는 현상은 원래의 크기가 팽창되는 양을 결정하는 요소가 됩니다. 전체가 고르게 팽창한다면 원래의 크기(혹은 부피가 될 수 있겠죠)가 클수록 더 커지는 것이 자연스러우니까요. 이때 선형 팽창률 α는 일반적으로 1보다 큰 상수입니다. 이것이 의미하는 바는, 일반적인 물질들은 온도가 높아질수록 팽창하는 성질을 가진다는 것입니다. 우리가 직관적으로 생각해보아도 자연스러운 결론입니다.

그러면 이번에는 조금 더 나아가서, 길이가 일정한 막대에 걸리는 장력이 어떻게 변하는지를 생각해봅시다. 그러면 온도가 변수, 그리고 길이가 고정되어야 합니다.

미분꼴로 나타내면 위와 같습니다. 종속 변수와 고정 변수가 서로 뒤바뀐 형태입니다. 이런 경우는, triple product를 이용하면, 우리가 알고 있는 형태로 나타낼 수 있습니다.

그러면, 막대의 면적, 등온 영률, 그리고 선형 팽창률의 곱에 (-)가 취해진 형태를 얻을 수 있습니다. 여기서 열역학 항등식을 적용해봅시다. dW = -pdV 항을 막대에 맞게 바꾸어서, fdL로 표현합시다. 여기서 부호는 (+)임에 유의합시다. 탄성 막대가 힘을 받으면(일이 가해지면) 길이가 늘어나니까요. 또한 이렇게 수정한 항등식 표현을 이용하여, 헬름홀츠 자유 에너지 F도 구할 수 있습니다.

이렇게 구할 수 있었네요. 그러면, 상태함수의 성질을 이용해서 각 자연변수들을 편미분꼴로 나타낼 수 있습니다. F를 각각 T와 L로 미분하면,

와 같이 엔트로피 S와 장력 f에 대한 표현을 얻을 수 있고, 여기서 Maxwell 관계(relation)도 얻을 수 있습니다. Maxwell 관계가 익숙치 않으시다면 16절 포스트를 다시 보고 오시길 바랍니다.

그러면 얻어진 Maxwell 관계에서의 우변은 위에서 구한, "길이가 고정된 줄의 장력"임을 알 수 있습니다. 위에서 구한 표현을 통해서 엔트로피와 길이 간의 관계를 얻을 수 있는 것입니다! Maxwell 관계의 강력함을 통해 서로 전혀 다를 것 같이 생긴 물리량들을 이어줄 수 있습니다.

따라서, 다음과 같이 등온 조건에서 길이가 변하면 엔트로피가 변한다는 것을 알 수 있습니다.

이것에 대한 물리적 해석은 조금 아래에서 설명을 해보겠습니다. 이것은 이상 기체를 다룰 때 온도를 고정시켜놓고 부피를 변화시켰던 상황과 비슷합니다. 이런 경우도 엔트로피가 증가했습니다.

이상기체라는 가정 하에, 등온 조건(dU=dT=0)에서 엔트로피가 증가하기 위해서는 계가 열을 흡수해야 했습니다(TdS = dQ). 이와 마찬가지로, 탄성 막대 역시도 엔트로피가 증가하기 위해서는 열을 흡수합니다.

그렇다면 길이를 늘렸을 때 왜 엔트로피가 증가할까요?

기체와 동일하게, 길이가 증가하면서 대응되는 미시 상태 수도 증가하기 때문입니다. 금속 줄(기타 등의 현악기와 같은)의 경우 결정 구조를 이루고 있습니다. 이때 길이가 늘어나면 원자당 부피가 증가하기 때문에 엔트로피가 증가하는 것은 당연한 이치입니다.

하나의 예제를 봅시다. 이상 기체는 등온 조건에서 내부 에너지 변화가 없었습니다. 그러면 탄성 막대도 내부 에너지가 변하지 않을까요?

그렇지 않습니다. 탄성 막대와 이상 기체는 일에 대한 부호가 반대였습니다. 아까 위에서 언급한대로, 길이가 늘어나고 엔트로피가 증가한다면, 둘 다 양수가 됩니다. 즉, 내부 에너지가 증가하는 과정을 거친다는 것입니다. 상쇄되지가 않는 것이죠.

2) 표면 장력(surface tension)

이번엔 표면 장력에서의 열역학에 대해 알아봅시다. 어떤 액체가 있다고 가정합시다. 이때 액체의 표면적을 변화시키는데 필요한 일을 W라고 하면, dW는 다음과 같습니다.

여기서 γ(감마)는 액체의 표면 장력(surface tension)에 해당하는 물리량입니다. 액체의 표면적은 A로 나타납니다. 여기서, 미소 표면적 dA를 구해봅시다. 우주에서 물방울을 보면 구형에 가깝게 정렬합니다. 구체 형태의 액체 방울이라고 한다면, 액체의 표면적은 4πr2으로 나타납니다. 이것을 r에 대해 미분해주면

와 같습니다. 따라서, dW=γdA=γ(8πrdr)입니다. 액체 표면에 작용하는 힘 같은 경우, 압력과 같은 차원을 가져야 합니다. 힘을 특정 면적에 대해 가해주기 때문입니다. 따라서 일 표현 dW를 pdV 형태로 해석할 수 있습니다. 우리는 현재 압력을 찾고 있으므로, dV=Adr=4πr2dr 임을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있고

여기서, 표면 장력으로 표현한 일과 압력으로 표현한 일이 같아야 하므로 압력 p는 다음과 같이 나타납니다.

이것은, (유체로 이루어진)물체의 형태를 유지하기 위해 작용하는 압력입니다. 간단한 예제를 하나 풀어봅시다.

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반지름이 R인 거품이 가지는 내부의 압력을 계산해보겠습니다.

그림을 보면서 생각을 해봅시다. 표면 장력을 물체 중심으로 작용하는 힘입니다. 그리고 대기압 역시도 물체의 중심으로 작용하는 힘이죠. 여기서 거품이 매우 얇은 두께를 가진다고 생각하면, 거품은 양쪽면에서 표면장력을 받습니다(표면 장력은 거품 밖의 유체와 방울을 이루고 있는 유체 사이의 접촉면에서 작용합니다). 안쪽과 바깥쪽 면 두 개를 모두 고려해야하죠. 따라서 거품이 얇다는 것은 dr이 0에 가깝다는 것이고, 따라서 거품 안쪽면과 바깥쪽면의 표면장력이 모두 같다고 근사할 수 있습니다.

따라서, 거품에 작용하는 전체 압력은, 표면 장력의 두 배와 대기압의 합이 됩니다.

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더 나아가서, 표면 장력에도 열역학 항등식을 적용해봅시다. 기본적인 과정은 1)탄성 막대의 내용과 동일하므로 하나하나 깊게 설명하진 않겠습니다. 먼저 dW=γdA이므로, 이것을 열역학 항등식에서 일반화된 일로써 치환해주면

이 됩니다. 또한, 헬름홀츠 자유 에너지 F에 대한 정의는 U-TS로 나타났습니다. 이것에 미분을 취해주어 dF의 표현을 구해봅시다.

따라서 상태함수의 exact differential의 관계에 따라 S와 γ는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

또한 Maxwell relation도 구할 수 있죠.

이제 내부에너지 dU의 표현에서, 양변을 일정한 온도에 대해 A(면적)으로 편미분 해줍시다.

중간 과정에서 Maxwell relation을 사용해주었습니다. 이때 전체 결과 중에서 두번째 항에 음의 부호가 붙어있기에 음수인 것처럼 보입니다. 하지만 사실, 표면 장력은 끓는점에서 0이 됩니다. 액체에서 작용하는 형태의 힘이고, 기체가 되면 사라지기 때문입니다.

아래의 $T_b$는 boling temperature입니다.

따라서 온도가 증가할 때 표면 장력 γ는 감소하므로 미분값 자체는 음수, 거기에 (-)가 한 번 더 걸려있으므로 전체는 양수가 됩니다. 그래프로 표현하면, 온도에 따른 표면 장력은 위와 같습니다.

이를 통해서 액체에 유입되는 열을 계산할 수 있습니다. 유입 열량 dQ=TdS입니다. 이 표현을 이용해서, 우리가 구했던 관계식들을 이용해서 정리하면 됩니다.

따라서, 등온 조건에서 표면적을 늘리기 위해서는 열을 흡수하여야 합니다. 이것은 곧 엔트로피의 증가로 나타나게 됩니다.

3) 전기 쌍극자와 자기 쌍극자(dipole and magnetic moment)

자석의 개념을 다루기 전에, 간단히 쌍극자 모멘트(dipole moment)에 대해 알아봅시다. 쌍극자 모멘트는 두 가지의 종류로 나눌 수 있습니다. 자세히는 전자기학 카테고리 포스트에서 확인하시면 됩니다. 아직 자기 쌍극자(magnetic dipole)는 다루지 않았지만, 열역학에서 다룰 자기 쌍극자는 간단한 경우만 다루도록 하겠습니다.

먼저 첫번째 쌍극자 모멘트는 전기 쌍극자 모멘트입니다. 이것은 전기장과 상호작용하죠. 쌍극자 모멘트와 그 종류에 해당하는 장(field)을 곱해주면, 쌍극자의 퍼텐셜 에너지가 됩니다. 따라서,

는 전기 퍼텐셜 에너지가 되죠. 이것의 differential 형태를 구해봅시다. 조심해야 할 것은 전기장과 전기 쌍극자 모멘트는 벡터이기 때문에, 벡터의 연산으로 생각해주셔야 합니다.

여기서, 우리는 지금 계를 지배하는 퍼텐셜 에너지에 대한 표현을 구했습니다. 그러나 쌍극자 자체에 저장된 에너지도 고려하여야 합니다. 쌍극자 하나는 마치 용수철처럼 행동합니다. 따라서 쌍극자가 가지는 에너지 +E·dp를 더해주어야 합니다. 그러면, 남는 항은 첫번째 항만 남게 되고,

따라서 이렇게 전기 계에서의 일의 differential 표현을 구할 수 있습니다. 이것은 자기 계에도 동일하게 적용됩니다. 자기 계에 대해서는 아래에서 자세하게 다루어볼게요.

4) 상자성(paramagnetism)

자석의 이론적인 model에 대해서 알아봅시다. 우리는 기본적으로 막대 자석을 초등학교 때 많이 다루었습니다. 자석을 구성하는 원자들을 속속들이 들여보면, 그 입자들은 격자구조를 이루면서 각자의 "자기 쌍극자 모멘트"를 가지게 됩니다. 여기서 같은 방향으로 정렬된 쌍극자 모멘트들이 dominant하면 n열 n대로 정렬해서 모여있는 군인들을 보는 모습이겠죠.

이러한 배치가 주된 계가 바로 강자성(ferromagnetism)입니다. 그런데 이러한 배치를 스스로 유지하지는 못하고, 외부에서 자기장이 가해져야만 정렬된 상태를 유지할 수 있는 계가 있습니다. 우리는 오늘 이것을 다룰 겁니다. 바로 상자성(paramagnetism)이라고 부르는 계죠.

이것을 물리적으로 해석하면 자기 쌍극자의 배열이 무작위적인 상태에서, 외부 자기장에 의해 자기 쌍극자들이 parallel하게 정렬하는 현상이라고 볼 수 있습니다.

위에서 전기 쌍극자에 대한 이야기를 나눌 때, 쌍극자가 가지는 에너지와 미소 일의 양...등을 생각하면서 dW를 결정했는데요. 이번에 다루는 계에서는, 일반화된 일의 양은 -mdB가 됩니다(스스로 해보시면 얻을 수 있는 간단한 과정입니다. 저는 생략하겠습니다).

여기서 조금 복잡한 개념을 언급할텐데요. 입자 하나가 가지는 자기 쌍극자 모멘트 말고 총 자기 모멘트를 정의해보겠습니다.

그러면 총 자기 모멘트는 각 미소 부피 요소들이 가지는 자성의 평균값...그리고 여기에 부피를 곱해주면 얻을 수 있습니다(일반적인 밀도 개념과 똑같습니다)!

여기서 자기 감수율(magnetic susceptibility) χ**m** 이라는 개념이 등장합니다. 정의는 다음과 같이

로 표현할 수 있습니다. 여기서 부연 설명으로써 말씀을 드리자면, 전자기학 포스트에서 대체 전기장을 다룰 때 쓰던 전기 감수율과 동일한 영향력을 행사하는 물리량이라고 생각하면 되겠습니다. 어떤 물체가 외부 자기장에 의해 자화 혹은 자기화(magnetization)될 때, 얼마나 자화가 되는지는 물체의 성질에 따라 달라집니다. 이 "성질"이라는 것이 자기 감수율로써 나타나게 됩니다. 그래서 자화밀도 M은 외부 자기장 H에 비례하게 됩니다.

여기서 일반적인 상자성체는 B가 μ**0H와 차이가 없으므로, 자기 감수율 χm**을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 상자성체는 Curie-Weiss 법칙(퀴리-바이스 법칙)을 따릅니다. 이 법칙이 뭐냐 하면,

온도가 증가할수록 자화율 M이 감소한다는 법칙입니다. 실제로 초등학교 때 철가루에 자석을 가져다대어 자화시킨 후, 토치로 가열시켜서 자성을 확인해보면 감쪽같이 사라졌던 경험을 해본적이 있을 것입니다. 이것이 바로 퀴리-바이스 법칙의 한 예시입니다. 일반적으로 자화된 물체들은 고온이 되면 될수록 자성을 잃고 본래의 형태로 돌아오게 됩니다.

따라서, 우리는 자기 감수율이 온도에 반비례(온도가 증가할수록 감소)한다는 것을 알 수 있습니다. 이것을 통해 자기 감수율을 온도에 대해 미분하여 그 기울기를 구할 수 있습니다(형광펜 그어놓은 부분). 이 기울기에 대한 값은 나중에 유용하니까 기억해놓도록 합시다.

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간단한 예제를 풀어서 익혀봅시다. 먼저 첫번째는 등온 자화 과정에서 B를 증가시키면 열이 방출되는 것을 보이고, 두번째는 단열 조건에서 B를 감소시킴에 따라 온도도 감소하는 것을 보이면 됩니다.

먼저 첫번째 문제를 풀기 전에 조건을 잘 세워봅시다. 헬름홀츠 자유 에너지를 이용할 것입니다. 왜냐하면 온도가 고정되어 있는 조건(dT=0)이기 때문입니다. 그러면 이것을 이용하여 dF를 표현하는 자연변수(natural variable) 하나를 제거할 수 있습니다.

여기서 맥스웰 관계를 이용하여 변수를 변환하고, m(자기 쌍극자 모멘트)의 정의를 이용하여 감수율 형태로 표현합시다.

그리고 이것을 고정된 자기장에 대해 온도로 편미분해줍니다. 그러면 출입 열량은 온도와 엔트로피 변화의 곱으로 표현할 수 있으므로 아래와 같은 형태의 식을 얻을 수 있습니다.

그런데 아까 Curie-Weiss 법칙에 의해 기울기가 음수일 수밖에 없다고 이야기하였습니다. 여기서 식을 구성하는 모든 변수들이 양수이고, 기울기만 음수이므로 전체 결과는 음수입니다. 즉, 계가 열을 잃는 발열 반응임을 알 수 있습니다.

이제 두번째 예제를 풀어봅시다. 단열 과정의 경우 열 출입이 없으므로 dQ = 0이고, 따라서 dS 또한 0이 됩니다.

자기장 변화에 대해 온도의 변화가 궁금하므로 위와 같이 편미분을 취해줄 겁니다. 여기서 triple product rule을 적용하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 열용량을 정의합시다. triple product rule에 의해 나오게 된 첫번째 변수를, 등자기장 열용량의 형태로 표현합니다. 그러면,

를 얻을 수 있습니다. 이것은 자기장을 증가시킴에 따라 온도 T가 증가하는 것을 보여줍니다(퀴리-바이스 법칙에 의해). 따라서 반대로 생각을 할 수가 있죠.

자화율을 낮추면, 온도도 낮출 수 있다는 소리입니다. 실제로 지구 상에서 가장 낮은 온도를 만드는 저온 실험실에서는 이러한 방법으로 온도를 낮춥니다. 극저온이라고 말하는 수 K 정도의 온도는 액체 헬륨으로 냉각이 가능하지만, 그 이하는 원자의 스핀, 즉 우주에서 가장 작은 자석을 컨트롤하여 온도를 낮추게 됩니다.

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그러면, 이제 단열적인 과정에서 자화율을 낮추는 방법인 단열 자기 소거(adiabatic demagnetization)의 미시적인 관점에 대해서 소개해보겠습니다. 자기 모멘트는 전자 혹은 핵과 같은 입자들의 스핀에 의해서 형성이 됩니다.

만약, 전자와 같이 스핀이 1/2인 입자라면, 이러한 입자의 각운동량 양자수 J는 1/2이 됩니다. 이때는 고유 상태가 무조건 두 개밖에 없죠. 바로 up/down입니다.

만약 온도 T가 매우 큰 값이거나, 외부 자기장이 0에 가까운 경우에는 up과 down 사이의 Boltzmann factor의 차이가 없습니다! 이 소리는, up 혹은 down의 점유율 차이가 없다는 것입니다. 다 똑같이 무작위적인 배열을 하기 때문이죠. 따라서 한 입자가 특정 상태를 가질 확률은 1/2이 됩니다. 이것을 N개의 전자로 확장하면 전체 microstate 수는 2**N**만큼 가질 수 있습니다.

따라서, 이러한 계의 엔트로피는 microstate 수의 log 값을 취해주어 다음과 같이 나타납니다.

만약, 아까처럼 1/2의 스핀을 가지는 경우가 아니라 2J+1의 스핀 양자수를 가지는 입자라면, 고유 상태 수도 2J+1개가 있습니다. 따라서 이때는 ln(2J+1)을 취해주면 됩니다.

온도가 낮아지는 경우라면, 전자들의 스핀 방향이 무작위적이였다가 한쪽 방향으로 정렬하게 될 겁니다. 이런 경우는 전자의 스핀에 대한 방향을 localize시키는 경우입니다. 따라서 이것은 상태수가 감소하는 과정입니다.

극단적으로 가봅시다. 만약 온도가 0K이라면 어떨까요? 이런 경우는 가장 낮은 에너지 상태만 가질 수 있습니다. 따라서 모든 전자들이 같은 스핀을 가져야 합니다. 그러므로 microstate 수가 1이 되고, 엔트로피는 0이 되죠.

아래의 그림은, 고체의 격자구조를 이루는 계에서 포논(phonon)의 엔트로피 값과 계의 온도 T에 대한 관계는 나타낸 그래프입니다. 여기서 파란색 선은 저자기장(Low magnetic field)에서의 곡선이고, 빨간색 선은 고자기장(High magnetic field)에서의 곡선입니다.

냉각 과정을 크게 3단계로 나눌 수 있습니다. a에서 c로 진행되는 과정인데요. a의 상태는 초기 상태입니다. 여기서 등온을 유지하며 자기장을 증가시키면, 스핀이 한 방향으로 정렬하게 됩니다. 즉, 상태 수가 감소하므로 엔트로피가 감소합니다. 이후 단열 과정을 통해 자기장을 지워줍니다. 그러면 위에서 언급한, 자기장이 감소함에 따라 계의 온도 또한 낮아짐을 통해 냉각을 시킬 수 있게 되는 겁니다.

Summary

이번 단원을 요약해보았습니다. 4가지의 다른 system에 대해서 열역학 항등식을 다음과 같이 쓸줄만 안다면, 이론 상 모든 문제를 풀 수 있습니다.