개요
이번 카테고리는 <첨단응집물질물리학(Advanced Condesed Matter Physics)> 내용을 다룰 예정입니다. 참고서적은 Marvin L. Cohen, Steven G. Louie의 <Fundamentals of Condensed Matter Physics>입니다.
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000002646941
Fundamentals of Condensed Matter Physics | Marvin L. Cohen - 교보문고
Fundamentals of Condensed Matter Physics |
product.kyobobook.co.kr
이 포스트는 개론으로써 쉬엄쉬엄 보면 될 것 같습니다.
1. 고체의 분류(Classification of solids)
아직 티스토리에 올리진 않았지만 제 네이버 블로그를 참고하시는 분들은 고체물리학 포스트를 보셨을 겁니다. 응집물질물리학과 고체물리학은 많이 닮아있습니다. 하지만 분명히 차이는 있습니다. 집합의 개념으로 보았을 때, 고체물리는 응집물질물리의 하위 개념, 즉 부분집합입니다. 따라서 응집물질물리가 조금 더 넓은 개념을 포괄하는 것이죠.
응집물질물리는 고체(solids), 액체(liquids), 액정(liquid crystal), 그리고 플라스마(plasma)와 같은 고체에 속하거나 인접한 상들의 물질을 다루는 학문입니다. 지금은 응집물질물리학이 특히 고체물리학으로 세분화되어서 그것이 전자공학으로 많이 뻗어나가긴 했지만, 실제로 응집물질물리는 현재까지 물리학의 가장 큰 가지 중 하나이기도 합니다. 다양한 물리적 현상들의 범위를 커버합니다.
시작하기에 앞서 이 책에서는 고체에 대한 양자역학적 이론에 주로 초점을 맞출 것입니다. 따라서 고체의 개념으로부터 시작하여 현대 물리학 연구의 기본이 되는 두 가지 일반적인 모델을 묘사하는 것이 유용할 것입니다. 여러 가지 복잡한 내용들이 있겠지만, 고체물리학(1)에서 언급했던 내용들을 간간히 확인할 수 있겠습니다.
I. 강직성(Rigidity)
고체에 대한 설명은 여러 가지가 있겠지만, Oxford Dictionary의 사전적 정의를 살펴보자면 다음과 같습니다.
Solids: Of stable shape, not liquid or fluid, having some rigidity.
고체: 안정적인 형태로써, 액체나 혹은 유체가 아니며 강직성을 가진 것.
고전역학을 배우면 강체(rigid body)라는 개념을 들어볼 수 있습니다. 고전역학적 운동을 설명하기 위해서 대부분의 물체를 강체로 가정하고 휘거나 부러지지 않으며 고체를 구성하는 모든 원자가 동일한 힘을 분배받음으로써, 뒤틀림 없이 형태를 유지하여 이동한다고 가정하죠. 물론 엄밀히는 잘못된 내용이지만 거시적 관점에서는 그러한 가정을 취해도 크게 문제가 없고 우리 역시도 생소하지 않게 받아들일 수 있습니다. 실제로 대부분의 고체는 우리가 아는 딱딱함을 가지고 있으니까요. 그래서 강직성은 고체에 대한 초기 연구에서 고체의 기본적인 성질로 취급되었습니다.
그래서 19세기 전까지는 고체의 강직성 혹은 기계적 성질을 포함하여 고체의 성질을 측량화했고 이것이 우리가 중학교 때 배우는 모스 굳기계(The Mohs hardness scale)입니다. 상대적인 강직성을 비교하여 무엇이 더 단단하게 구성되어 있는지 자주 사용하지만, 현대 과학의 관점에서 모스 굳기계는 고체를 분류하는 데 있어 제한적인 측면이 있습니다.
II. 화학적 결합과 구성(Chemical bonding and chemical composition)
양자역학을 포함하는 원자 이론이 태동하기 시작하면서 과학자들은 고체에 대한 미시적 개념(microscopic concept)을 얻을 수 있었습니다. 고체는 여러 원자들이 모여서 약하거나 혹은 강하게 결합한 것들의 무리라고 생각할 수 있었죠.
아까 위에서 고체의 사전적 정의를 이야기하면서 액체 혹은 유체가 아니라고 했었는데, 이러한 관점에서 기체와 액체를 살펴보자면 기체는 거의 독립적인(상호작용을 무시할 수 있는) 상태의 입자들의 무리이고, 액체는 그것만큼은 아니지만 약하게 상호작용을 하는 원자들의 무리로 생각할 수 있습니다.
더 나아가서, 이러한 해석은 고체의 형성에 대한 묘사를 제시할 수 있습니다. 근본적으로 이러한 상호작용은 거리에 의존하게 되고, 압력을 받거나 온도가 낮아서 '얼게' 되면 상호작용의 거리가 짧아지게 되면서 더욱 강하게 묶이게 됩니다. 이를 통해서 고체가 형성되는 것이죠.
III. 결정 구조(Crystalline structure)
또한 고체는 상호작용의 거리가 짧아짐에 따라 뭉치게(condensed)되고, 이것은 원자들의 규칙적인 배치를 만들어냅니다. 이러한 배치를 아울러 결정 구조(crystalline structure)라고 부르게 되는데, 이것은 오직 고체에서만 나타나는 특징입니다. 액체나 기체는 유동성이 있기 때문에 구성 요소인 원자들이 끊임없이 움직이고 있지만, 고체는 강한 상호작용에 의해서 덩어리로 묶여있죠.
뢴트겐에 의해 X선이 발견되면서 이 X선이 고체의 결정 구조를 파악하는데 도움을 주게 됩니다. 조금 더 정확히는 X선이 고체 표면과 상호작용하면서 투과(transmission) 및 반사(reflection)를 일으키게 되고, 브래그 조건(Bragg condition)을 통해 경로차 $ 2d \sin \theta = n\lambda $를 가지는 빛 무리가 무늬를 만들며 결정 구조를 시각화합니다. 이것은 대부분의 고체 연구의 시작점이 되었던 엄청난 발견이었습니다.
IV. 전자기적 그리고 열적 특성(Electromagnetic and thermal characteristic)
마지막으로 전자기적 그리고 열적 특성을 살펴볼 수 있습니다. 어쩌면 위에서 언급한 것보다 현재 가장 대중적으로 고체를 판가름하는데 쓰이는 것이 이것일 수도 있습니다. 바로 비저항(resistivity) $ \rho $입니다. 비저항은 단일 스칼라량으로 얻어지거나 혹은 대칭텐서(행렬) 형태로 나타납니다. 이것은 재료의 성질에 따라 다양한 차이를 보입니다. 고체의 종류를 나누는 비저항 값을 아래의 테이블로써 간단히 살펴봅시다.
| Class | Typical resistivity($ \large{ \Omega \, \text{cm} } $) | Example |
| metal | $ \large{10^{-6}} $ | copper |
| semimetal | $ \large {10^{-3}} $ | bismuth |
| semiconductor | $ \large {10^{-2} \sim 10^{9}} $ | silicon |
| insulator | $ \large {10^{14} \sim 10^{22}} $ | diamond |
반도체물리학 같은 수업을 들어보면 1장에서 많이 볼 수 있었던 전형적인 테이블입니다. 비저항이 작을수록 전기 전도도(conductivity)가 좋다는 말이므로 작은 순대로 금속(metal), 반금속(semimetal), 반도체(semiconductor), 절연체(insulator)로 나눌 수 있습니다.
지금까지 고체를 나눌 수 있는 4가지 기준을 다루었습니다. 이것을 크게 나누자면 두 가지 분류로 나눌 수 있습니다.
- 화학적/구조적 분류는 본질적으로 상호작용하는 원자들을 기반으로 하여 결정형 고체의 모델을 설명합니다. 하지만 이것은 한계가 있습니다. 결정의 형태를 가지지 않는 고체들의 경우는 설명하기 쉽지 않죠.
- 분류를 위해 비저항을 사용하는 것은 고체를 분석하는데 있어서 새로운 관점을 제시합니다: 외부적 자극(external probe)에 의한 고체의 반응을 통해서 분류를 하는 것입니다. 바로 집단적이고 공통적인 성질(collective nature)를 살피는 것이죠.
2. 고체의 첫 번째 모델: 상호작용하는 원자(A first model of a solid: interacting atoms)
우리 주변에서 흔하게 볼 수 있는 금속인 알루미늄에 대해서 생각해 봅시다. 알루미늄은 상대적으로 무른 고체에 속하며, 약 2~2.9 사이의 모스 굳기를 가집니다. 그리고 단일 원소로 구성되어 있는 금속이죠. 결정 구조는 면심입방구조(Face-centered cubic)이며, 격자 상수는 $ \large{a=4.5 \,} $ Å 을 가지며 좋은 전도체에 속합니다. 비저항 값이 약 $ \rho = 2.8 \times 10^{-6} \, \text{cm at} \, 20$℃이기 때문입니다. 그리고 알루미늄은 약 1.19 K에서 초전도체가 됩니다.
자, 이렇게 다양한 특성을 가지는 알루미늄을 우리는 어떤 모델을 이용해서 이것을 설명할 수 있을까요? 왜 알루미늄은 구리, 고체 아르곤, 실리콘, 소금 같은 것들과 다를까요?
가장 직접적인 접근법은 알루미늄 금속을 "서로 상호작용하는 알루미늄 원자들의 모임"으로써 해석하는 것입니다. 각 알루미늄의 원자들은 원자번호 Z=13의 핵으로써 구성되어 있습니다. 즉 양성자가 13개, 전자가 13개가 있는 것이죠.
위 그림을 보면서 조금 더 자세히 묘사해보자면 전자들은 10개의 중심 전자(core electron)로 나뉘게 되고, 바깥쪽에 원자가 전자(valence electron) 3개를 가지게 됩니다. 이것을 주양자수(principal quantum number)와 각운동량 양자수(angular momentum quantum number)로 구분지어 오비탈 형태로 표현하게 되면 다음과 같습니다.
core electron: $ \large{[(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6]} $
valence electron: $ \large{[(3s)^2 (3p)^1]} $
여기서 중심 전자들의 모임은 각각 핵의 양전하들과 하나씩 묶여있다고 볼 수 있습니다. 그러면 정성적으로 생각했을 때, 외부에 존재하는 원자가 전자들은 중심 전자들에 의해 핵 전하량이 "작게 느껴지는" 가림 효과(screening effect)를 느끼게 될 것입니다! 이렇게 원자가 전자들이 실질적으로 느끼는 전하량을 유효 전하량(Effective charge) $Z_{\text{eff}}$라고 합니다. 즉 $ Z_{\text{eff}}=+3e $임을 알 수 있습니다. 중심 주위를 움직이는 전자들, 그 사이에는 자유롭게 떠돌아다니는 무리인 "준 자유 전자(nearly-free electron)"이 존재하는데요. 그림을 보면 알다시피 코어 하나당 3개의 자유 전자가 있음을 볼 수 있습니다.
이러한 자유 전자들 상호 간의 상호작용에 의해 발생하는 퍼텐셜 내부에서의 운동에 대한 법칙은, 양자역학을 통해서 기술할 수 있음이 잘 알려져 있습니다. 즉 슈뢰딩거 방정식(Schroedinger equation)이 대부분의 경우에서 효과적이라는 것이죠. 하지만 만약 상대론적인 효과를 고려해야한다면 디랙 방정식(Dirac equation)이 중요해집니다.
이 전자들이 느끼는 힘은 아주 명확하게 알려져 있습니다. 오직 전자기력 뿐이죠. 물론 중력과 약력도 존재합니다만, 매우 약해서 이와 같은 상황에서는 무시할만하고, 또한 강력 같은 경우 굉장히 short-range force이기 때문에 의미가 없습니다. 그러나 문제는, 이렇게 다른 종류의 힘을 무시한다고 하더라도 우리가 방정식을 풀기 전혀 쉽지 않다는 것입니다. 왜냐하면 1 입방센티미터 당 거의 $10^{23}$ 개의 원자들이 존재하기 때문에 그것들을 다 고려하기 어렵습니다. 따라서 근사를 취하는 방법이 필요하며, 이것을 2장에서 다루도록 할 것입니다.
3. 두 번째 모델: 기본적 들뜸(A second model: elementary excitations)
꽤 다른 두 가지 접근법이 응집물질계를 연구하기 위해 공통적으로 사용됩니다. 양자역학과 양자장론(QFT; quantum field theory)에서 들뜬상태를 논할 때 계에 대한 묘사를 약간 바꾸는 것이 편리할 때가 많습니다. 이러한 묘사는 계가 바닥상태에 있지 않을 때 발생할 수 있는 들뜸(excitation)을 기반으로 합니다.
표준적인 예시로는, 질량 $m$을 가지고 2차 함수 퍼텐셜(quadratic potential) $\large{\frac{1}{2}m \omega ^2 x^2}$ 안에서 운동하는 조화 진동자가 있습니다.
이러한 시스템은 양자수 $n$으로써 정의되는 에너지 $\large{E_n = \left(n+ \frac{1}{2} \right) \hbar \omega}$의 스펙트럼을 가질 수 있는데, 여기서 영점 에너지 $\large{ E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega }$를 가지는 것을 바닥상태라고 볼 수 있습니다. 그리고 들뜸 에너지 $\hbar \omega$에 대한 양자들의 높은 에너지 상태는 음수가 아닌 임의의 정수 $n$ 안에서 생성(creation)되거나 이후에 소멸(destruction)될 수 있습니다.
또 다른 예시로는 전자기장(electromagnetic field)입니다. 이것은 양자화된 입자적 들뜸(quantized particle-like excitation)의 집합처럼 볼 수 있습니다. 이 양자화된 입자는 광자(photon)이며, 각각의 입자들은 파수 벡터(wavevector) $ \mathbf{k} $, 편광 방향 $ \hat{\epsilon} $, 그리고 에너지 $ \hbar \omega = \hbar c |\mathbf{k}| $로써 결정됩니다. 여기서 $c$는 광속을 의미합니다.
이러한 위의 예시들은 양자 시스템 작동의 정의를 보여줍니다. 이것들은 들뜸에 의해서 묘사되며, 각각은 에너지, 그리고 다른 특정한 물리적 성질에 의해서 정의됩니다. 들뜸이 발견되면, 그 이후의 할 일은 다양한 들뜸에 대한 상호작용과, 양자계의 외부 조건이 바뀔 때 이러한 들뜸이 생겨나고 사라지거나 혹은 수정되는지를 연구하는 것입니다. 마지막엔 양자계를 기본 들뜸으로써 특정 지을 수 있을 것입니다.
solid의 elementary excitation은 보통 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다. 준입자(quasi-particle)과 집단적 들뜸(collective excitation)입니다. 준입자는 보통 페르미온(Fermion)이며, 고체 내 상호작용하지 않는 실제 입자들의 명확하게 정의된 들뜬상태와 유사합니다. 집단적 들뜸은 보통 보존(Boson)이며, 그 구성 요소인 실제 입자들과 유사하지 않습니다. 대부분의 경우에서, collective excitation은 거시 세계에서의 계의 집단적인 움직임과 관련됩니다. 이것은 주양자수 $n$에 따라 create 되거나 destroy 될 수 있는 "일반화된 조화 진동자"의 양자의 형태로 묘사될 수 있습니다. 각 양자는 들뜸 에너지로써 $ \hbar \omega$만큼을 제공하게 되죠.
2차 양자화(second quantization)로써의 묘사가 이러한 모델을 설명하기 위해 자연스럽습니다. 지금까지 언급한 것을 다시 생각해보면, elementary excitation(기본 들뜸)은 생성되거나 소멸될 수 있고, 또한 대칭(Bose-Einstein)과 반대칭(Fermi-Dirac)인 조건을 만족시켜야 하므로, creation operator($ \hat{a_+}$ 혹은 $ \hat{a} $)와 destruction(또는 annihilation) operator ($ \hat{a_-} $ 혹은 $ \hat{a^\dagger} $)는 교환 그리고 반교환 규칙(commutation and anticommutation rules)을 만족시키면서 이러한 2차 양자화를 묘사하는 데 있어서 기본적이며 기술적인 도구가 될 수 있습니다.
학부생들은 양자역학에서 creation과 destruction operator를 각각 rasing operator, lowering operator로 배웁니다. 이제 이것이 2차 양자화로 표현한 고체의 elementary excitation을 설명하는데 유용하게 쓰일 수 있음을 알게되는 대목입니다.
Quasi-particle과 collective excitation의 내용을 간단하게 요약해보겠습니다. 일단 기본 단위로써의 차이가 존재합니다.
Quasi-particle은 실제 입자(bare particle)와 유사하게 행동하지만, 주변 환경의 상호작용에 의해 "약간 수정된" 입자로써 해석된다.
Collective excitation은 다수의 입자가 말그대로 collective(집단적, 협력적으로)한 운동 혹은 파동이다.
두번째로 특성의 차이가 있습니다.
Quasi-particle은 개별적으로 움직이는 입자처럼 취급되며, 수정된 질량이나 에너지 준위를 가진다.
Collective excitation은 다수의 입자들이 상호작용하여 만들어지는 결과로, 단일 입자로 설명할 수 없는 집단적 성질을 가진다.
4. 고체 그리고 액체와 연관된 기본 들뜸(Elementary excitation associated with solids and liquids)
위에서 quasi-particle과 collective excitation에 대해서 언급했습니다. 그러면 우리가 지금까지 배웠던 물리계에서 어떤 것들이 이러한 대상이 될 수 있는지 확인해 볼 시간입니다.
$\mathbf{Quasielectrons.}$(준전자)
Quasielectron, 즉 준전자는 줄여서 그냥 "전자"로 쓰기도 합니다. 이 quasielectron은 낮은 들뜬상태에서 상호작용하지 않는 전자처럼 행동합니다. 이것들은 에너지와 양자수를 통해 특정 지을 수 있는 페르미온입니다. 예를 들면 이 quasielectron들의 파수벡터 $ \mathbf{k} $나 스핀 방향에 따라 결정됩니다. 이 전자들의 성질은 전자들이 움직일 때 느끼는 주변 환경에 대한 효과를 포함합니다!
중요한 예시는 전자들이 "다른 전자들에 대해 상호작용을 경험"하는 것인데, 이것은 자유 전자의 질량 $m$을 더 무거운 유효 질량(effective mass) $m^*$로 바꿀 수 있습니다($m^* > m$). 이렇게 준전자에 대한 결과는 스핀 $\frac{1}{2}$와 전하량 $-|e|$를 가지는 단일 입자로써 설명할 수 있습니다. 또한 quasielectron의 전형적인 excitation energy는 결정의 격자 상수 $a: \left( \frac{e^2}{am} \right) \simeq 5 \, \text{eV} $에 의해 분리된 Coulomb 상호작용 에너지의 차수를 따릅니다. quasielectron에 대한 속도는 약 $v \simeq \left( \frac{e^2}{am} \right)^{1/2} \simeq 10^8 \, \text{cm/s} $입니다.
$\mathbf{Hole.}$(정공)
바닥상태를 점유하고 있던 전자가 오비탈에서 비워지게 되는 것을 우리는 Hole이라고 부릅니다. 이러한 비유는 포지트론(positron, 양전자)에 대한 디랙의 이론에서 비롯되었습니다. 정공은 준입자(quasi-particle)로써 전하량 $+|e|$, 스핀 $\frac{1}{2}$, 그리고 에너지와 속도는 quasielectron과 유사합니다. 전자들이 고체에서 양자 터널링 현상 혹은 전자 방출 등의 형태로 주입되거나 제거될 때, 전자들은 종종 남겨진 정공이라는 개념의 언급 없이 단일 입자로 취급됩니다. 이러한 정공은 보통 따로 연구됩니다.
$\mathbf{Phonon.}$(포논)
포논은 Boson으로써, 격자 진동(Lattice vibration) 혹은 음파와 연관된 collective excitation입니다. 포논은 파수벡터 $\mathbf{q}$로써 정의되며, polarization mode에 대한 인덱스인 $\alpha$, 그리고 에너지 $\hbar \omega$를 가집니다. 전형적인 에너지는 $ k_B T_D$의 차수를 가지며, 여기서 $k_B$는 볼츠만 상수(Boltzmann constant), $T_D$는 디바이 온도(Debye temperature)입니다. 디바이 온도는 대략 상온(Room temperature)에서의 차수를 가지며, 이때 포논의 에너지는 약 $\hbar \omega = 0.025 \, \text{eV}$입니다.
$\mathbf{Plasmon.}$(플라즈몬)
플라즈몬 역시도 보존의 성질을 가집니다. 포논과의 차이는, 그 원천이 전자 전하 밀도(electronic charge density)의 collective motion으로부터 기인한다는 것입니다. 이것은 파수벡터 $\mathbf{q}$와 3차원에서 고전적인 플라즈마 에너지의 차수를 가집니다.
$$ \hbar \omega_p = \hbar \left( \frac{4 \pi n e^2}{m} \right)^{\frac{1}{2}} $$
여기서 $n$은 단위 부피 당 가전자(valence band에 있는)의 밀도를 의미합니다. 전형적인 고체에 대해서, $ \hbar \omega_p \simeq 10 \, \text{eV}$를 가집니다. 하지만 이 값이 고정된 것은 아니고, 반금속이나 축퇴 반도체 같은 경우에서 발견될 수 있는 hole system이나 저밀도 electron system에서 작아질 수 있습니다. n이 작아지면 값이 작아지니까요.
$\mathbf{Magnon.}$(마그논)
마그논은 spin wave나 spin excitation에 관련된 collective excitation입니다. 이는 정렬된 자기 시스템에서 스핀 반전의 발생으로 인해 기인합니다. 에너지는 보통 Curie 온도 혹은 Néel 온도같은 정렬 온도에서의 차수를 가지게 됩니다. 이는 약 $10^{-1} \, \text{eV}$까지 높아질 수 있는데, 보통은 그것보다 작은 $4 \times 10^{-5} \, \text{eV}$를 가집니다.
$\mathbf{Polaron.}$(폴라론)
폴라론은 결정에 존재하는 quasielectron의 특별한 형태입니다. 폴라론은 결정 안에서 움직이는 전자나 정공, 혹은 격자 변형이나 뒤틀림에서 기인하는 것으로 취급됩니다. 만약 변형이 phonon의 excitation 면에서 설명된다면, 이것은 phonon의 구름으로써 동반되는 전자처럼 바라볼 수 있습니다. polaron이라는 단어나 polaron effects는 보통 electron과 phonon 간의 일반적인 상호작용에서 발생하는 전자의 성질 변화를 묘사하는 데 사용됩니다.
$\mathbf{Exciton.}$(엑시톤)
엑시톤은 구속 혹은 준구속 상태에 있는 quasielectron이나 hole을 묘사할 때 사용됩니다. 이러한 elementary excitation은 포지트로늄(positronium, 양전자와 전자의 결합)과 유사한데, 종종 두 성분의 fermion 혹은 radiatively하는 소멸로써 분해될 수 있는 Boson과 유사하게 행동합니다. Exciton은 보통 절연체나 반도체에서 관측되죠. 일반적인 결합 에너지는 3차원에서 약 $\sim 0.025 \, \text{eV}$을 가집니다.
$\mathbf{Superconducting \, quasiparticles.}$(초전도 준입자)
초전도 준입자는 초전도체 내부에서 전자의 들뜬 상태를 묘사하는 fermion입니다. 다른 말로는 보통 Cooper particle(Cooper pair가 아님!)로 불립니다. 혹은 보골류본(Bogoliubon)이라고도 부르죠. 초전도 바닥 상태를 설명하는 물리학 때문에, 이러한 quasi-particle들은 quasielectron과 hole의 linear combination으로 간주됩니다. 일반적인 에너지는 초전도 전이 온도 스케일인 $10^{-5} \, \text{eV} \simeq 10^{-2} \, \text{eV}$ 사이에 위치하고, 이는 물질의 종류에 의존합니다.
$\mathbf{Roton.}$(로톤)
로톤은 약간 생소한데요. 로톤은 유한한 파수벡터에서의 분산 관계 중 국소적 최소 에너지와 연관된 특별한 포논으로써 나타나는 준입자입니다. 로톤은 보통 헬륨-4 ($\text{He^4}$)의 초유동(초유체 상태)에서 보이는 준입자입니다. 제가 썸네일로 쓴 배경 사진도 헬륨-4의 초유체 상태의 사진입니다. 헬륨에서 Roton의 에너지는 $10^{-3} \, \text{eV}$ 정도의 차수를 가집니다.
5. 외부 자극(External probe)
고체의 성질에 대한 정보는 잘 정의된 조건 하에서의 측정을 통해 얻어집니다. 이 정보들은 두 평형 상태: 온도와 외부에서 작용된 정전기장, 정자기장이 미리 결정되어 있거나, 혹은 에너지, 운동량, 각운동량, 그리고 다른 역학적 물리량들이 주위 환경과 교환되는 역학적 상황에서 결정됩니다. 후자의 경우, 이러한 교환 효과를 만들어내는 매개체는 "미시적인 양자"들입니다. 예를 들면 우리가 금속에 빛을 쪼여서 전자를 탈출시키는 "광전 효과"를 일으키는 매개체는 바로 광자(photon)이죠. 그래서 이러한 입자들을 시험 입자(test particle) 혹은 조사 입자(probe particle)라고 합니다. 후술 할 입자들이 대표적인 시험 입자들입니다.
$\mathbf{Photon.}$(광자)
전자기적 연구 방법은 고체를 연구하는 가장 일반적인 방법입니다. 예를 들어서 흡수 스펙트럼, 반사 스펙트럼, 그리고 광전자 방출 스펙트럼을 사용하는 경우가 있겠습니다. 이것들 모두가 광자를 이용하는 경우입니다. 유용한 광자의 에너지 범위는 우리가 이용할 수 있는 금속의 연구에 사용하는 전파(radio frequency) 영역 대부터 Mossbauer effect(메스바우어 효과)를 이용한 감마선 연구까지, 폭넓은 전자기파를 만들어냅니다.
$\mathbf{Electrons.}$(전자)
전자는 다양한 방법으로써 고체를 연구하는데 사용됩니다. 전자들은 전기적 접촉이나 터널링 접합 등과 같은 것을 통해 주입되거나 배출될 수 있는데요, 혹은 산란입자를 연구할 때 전자빔 형태로 쓰이기도 합니다. 전자는 실험의 종류에 따라 다양한 에너지를 가질 수 있는데 약 $1 \, \text{meV}$ 만큼의 에너지를 갖는 전자는 초전도 터널링에서, $1 \, \text{eV}$ 의 에너지를 갖는 전자는 반도체 터널링, $ 10^{-2} \simeq 2\, \text{eV}$의 전자는 주사 전자 현미경(STM)에서 이용됩니다. 그 이상의 에너지를 갖는 전자들은 고체 표면에 대한 저에너지 전자 산란, 그보다 큰 에너지를 갖는 전자들은 고에너지 전자현미경 등에 사용됩니다.
그 외에도 Positron, 중성자, Muon and Pion, 양성자, 원자 등이 있지만 생략하도록 하겠습니다.
6. 분산 곡선(Dispersion curves)
모든 probe particle들은 운동량에 대해 특정 지을 수 있습니다. 보통 고전역학에서 운동량을 많이 쓰니까, 양자역학으로 넘어가서 생각하면 wavevector나 파장을 쓸 수 있겠죠(드브로이 물질파 이론에 따라). 혹은 에너지(진동수)로도 가능합니다. 이 입자들은 자유 공간이나 진공에 있다고 가정할 수 있습니다.
질량이 있는 일반적인 입자에 대한 분산관계를 생각해 봅시다. 질량 $m$을 갖는 입자에 대해, 에너지 $E$와 운동량 $\mathbf{p}$ 혹은 파수벡터 $\mathbf{k}$ 사이의 함수적 관계를 나타내는 분산 곡선은 다음과 같이 나타납니다.
질량을 가진 입자의 분산 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \large{E=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}=\frac{\hbar ^2 \mathbf{k} ^2}{2m}}$$ 만약, 상대론적 극한을 고려하는 상황이라면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \large{ E= (\hbar ^2 \mathbf{k} ^2 c ^2 + m^2 c ^2 )^{1/2} - m c ^2}$$
여기서 c는 광속입니다. probing particle인 자유 입자의 광자(질량이 없죠!)는 분산 곡선으로써 설명되는데, 여기서 진동수 $\omega$와 파수벡터 $\mathbf{k}$가 연결되어 $$\large{\omega = c \mathbf{k}}$$의 분산 관계를 가집니다.
이러한 분산 곡선이 아래의 그림에 나와있습니다. 고체나 액체의 경우, 대부분의 elementary excitation은 wavevector 그리고 에너지 혹은 진동수로 정의됩니다. wavevector에 대한 에너지의 함수적 의존성, 즉 분산 곡선은 결정되어야 할 가장 기본적인 excitation의 성질 중 하나를 표방합니다.
이 분산 관계는 free particle과 photon가 서로 다르게 나타났던 것처럼, 물질에 따라서 달라지게 됩니다. 아래의 그림은 순서대로 metal, semiconductor, superconductor의 dispersion curve를 보여줍니다.
분산 곡선을 구하는 것은 고체물리학이나 반도체물리학 포스트에서도 많이 다루었으므로 깊이 있게 해석하진 않겠습니다. 분산 곡선은 복잡하기 때문에 특정 위치에서 근사를 취할 수 있습니다. 테일러 전개를 통해서 구할 수 있죠. 그중에서도 보통 이차 근사(quadratic approximation)를 취할 수 있습니다. 예를 들면 $\mathbf{k}=0$ 근처의 Conduction Band나 Valence Band에서 유효 질량(effective mass)을 구하기 위해 사용되는데요. 다음과 같은 과정을 통해서 간편하게 적을 수 있습니다.
$$\large{E(\mathbf{k})=\frac{1}{2} \hbar^2 (\mathbf{k}-\mathbf{k_0}) \cdot A \cdot (\mathbf{k}-\mathbf{k_0})} $$
여기서 $A$는 텐서로써, 역 유효 질량 텐서(inverse effective mass tensor)로 해석됩니다. 그 성분은 $A_{ij} \equiv m^{-1} \delta_{ij}$로써 나타납니다. $m$은 자유 공간에서의 전자의 질량입니다.
다양한 금속이 있지만, 그중에서도 알칼리 금속(Alkali Metal)의 경우 우리가 알고 있는 pure 한 metal에 가까운데요, Na(Sodium)에 대해 좋은 근사를 취하면 Fermi 파수벡터 $k_{\text{F}}$를 이용하여 $$\large{E(\mathbf{k})=\frac{\hbar^2}{2m^*}|k^2-k_F^2|. }$$의 분산 곡선을 얻을 수 있습니다.
자, 지금까지는 quasi-particle 중에서 quasielectron에 대해서 설명을 했었습니다만, Collective excitation에 대해서도 dispersion relation을 구할 수 있습니다. 아래의 그림은 collective excitation의 dispersion curve의 예시를 보여줍니다.
위 그림에서 (a)와 (c)가 Phonon에 대한 dispersion relation입니다. Phonon의 경우 frequency가 wavevector $\mathbf{q}$에 의존하게 되는데, $\mathbf{q} \sim 0$인 경우 "선형적"인 근사가 가능합니다. 따라서 $\mathbf{q}=0$의 근처에서 다음과 같이 분산 관계를 나타낼 수 있습니다.
$$\large{ \omega_\alpha=v_\alpha | \mathbf{q}| \quad \text{or} \quad E= \hbar \omega=\hbar v_\alpha | \mathbf{q} |, \qquad \text{where}\, v_\alpha \, \text{is the speed of sound propagation for mode} \, \alpha. }$$
여기서 $\alpha$는 음파(sound wave)의 진행에 대한 진동 모드(mode)에 대한 index입니다.
이렇게 분산 관계의 예시를 살펴보았습니다. 그러나, elementary excitation에 대한 분산 곡선의 결정과 해석은 꽤 복잡합니다. 그러나 연구방법을 제시할 수는 있습니다. 이러한 접근법은 다음과 같은 과정으로 정리할 수 있습니다.
1. Hamiltonian 형식을 수단으로 하여, 본래의 elementary excitation을 정의한다.
2. 본래의 elementary excitation에 대한 dispersion relation을 결정하기 위해, 운동 방정식을 푼다.
3. excitation 중에서 필수적인 상호작용을 고려한 후 excitation의 "최종적인" 스펙트럼에 대해 푼다.
4. 외부적 자극에 대한 효과나 그것들끼리의 상호작용을 포함한다.
5. 마지막으로 응집물질계에 대한 reponse function을 결정하기 위한 새로이 결합된 방정식을 푼다.
여기서 1~2번까지의 과정은 보통 일반적인 양자역학의 과정(ordinary quantum mechanical method)에 의해서 다루어집니다. 외부의 퍼텐셜이 있는 조건에서, one body problem을 풀기 위해 Schroedinger equation을 적용하는 형태이죠.
3~5번까지의 과정은, 2차 양자화 그리고 Green's function 테크닉을 통해서 many-body problem과 관련된 것들을 해결할 수 있습니다.
7. 기본 들뜸과 탐침 입자들에 대한 그래프 표현(Graphical representation of elementary excitations and probe particles)
지금까지 elementary excitation과 probe particle에 대해서 이야기를 했습니다만, 일일이 숫자와 수식으로만 다루기엔 복잡합니다. 그래서 그림으로 표현하는 방법이 있습니다. 바로 파인만 다이어그램(Feynman diagram)입니다.
electron부터 magnon까지, 다양한 particle들을 우측과 같이 표현합니다. 굉장히 단순합니다. 파인만 다이어그램은 시간의 흐름을 좌측에서 우측, 혹은 아래에서 위 방향으로 설정하고 입자들의 생성, 소멸, 교환 등을 기술합니다. 각 입자들은 다른 모양들의 선으로 기술되는데, 이것들 하나하나가 excitation을 의미합니다.
8. 입자들 간의 상호작용(Interaction among particles)
이제 간단히 파인만 다이어그램의 소개와, 입자들의 표현 방법이 어떻게 되는지 배웠으니 실제 상호작용을 파인만 다이어그램으로써 어떻게 묘사하는지 봅시다.
I. Quasiparticle-boson interactions
응집물질계에서 많은 물리적 과정들이 준입자-보존의 상호작용을 포함하고 있습니다. 보존은 위에서 언급했던 시스템의 collective excitation 혹은 probe particle에 대응됩니다.
좌측 그림에 3가지의 상호작용이 나타나 있습니다. (a)에 대한 해석을 먼저 시작해봅시다. (a)의 경우, $\mathbf{k}$의 wavevector를 가진 전자가 시간이 흐르며 $-\mathbf{k}$를 갖는 광자를 방출합니다. 그리고 원래의 전자는, wavevector가 $+\mathbf{q}$만큼 변한 상태로 산란됩니다(scattering). wavevector는 입자들의 momentum에 대응되는 물리량이기 때문에, momentum conservation을 위해 정확히 $\mathbf{q}$만큼 변해야합니다. 따라서 총 wavevector 합은 초깃값이었던 $\mathbf{k}$를 만족하여야하죠.
그림 (b)는 광자를 흡수하는 과정, 즉 (a)의 정확히 반대의 과정입니다. $\mathbf{k}$의 wavevector를 갖는 전자가 $\mathbf{q}$의 wavevector를 갖는 광자와 충돌하여 $\mathbf{k}+\mathbf{q}$의 전자가 됩니다.
그림 (c)는 유사해보이지만, 화살표 방향이 반대 방향입니다. 이것은 전자가 거꾸로 움직이는 것이 아니라, 전자의 반대의 성질을 띠는 정공(hole)을 의미합니다. 즉, 그림에 표기되어 있는 $\mathbf{k}+\mathbf{q}$의 wavevector 부호의 정확히 반대인, $-\mathbf{k}-\mathbf{q}$의 wavevector를 가진 정공이 $-\mathbf{q}$의 wavevector를 가진 광자를 방출하여 $-\mathbf{k}$의 정공이 됩니다.
(a)부터 (c)는 광자가 매개하는 상호작용 과정입니다. 즉 Boson이 매개하는 상호작용, 그래서 Quasiparticle-Boson interaction 입니다.
II. Quasiparticle-quasiparticle interaction
이번에는 quasiparticle과 quasiparticle의 상호작용을 다루어보도록 하겠습니다. 비교적 위에서 자세하게 설명했으니까 간단하게 요약해보겠습니다. (a)는 self-energy
'물리학 > 첨단응집물질물리학' 카테고리의 다른 글
| 3. 전자 에너지 밴드(Electronic Energy Bands) (0) | 2024.09.24 |
|---|---|
| 2. 결정 속 전자(Electrons in Crystal) (0) | 2024.09.12 |
