10. 열 방정식(Heat Equation)

개요

이번 포스트는 10장, <열 방정식>입니다. 열 방정식은 열이 공간 상에서 시간에 따라 어떻게 퍼지는지를 보여주는 식입니다. 이것의 유도와 적용을 다루게 될텐데요, 내용이 꽤 길기 때문에, (1)가 (2) 두 부분으로 나누어서 정리를 하도록 하겠습니다. 오늘 내용을 이해하기 위한 기초적인 지식은, 푸리에 해석과 미분방정식입니다. 이 둘을 모른다면 수학적인 이해에서 어려움이 있을 수 있으니 참고 바랍니다.

포스트를 작성하기 전에, 오늘 단원에 대한 간단한 여담을 이야기하려고 합니다. 제가 참고하고 있는 Stephen J. Blundell, 에서는 이번 장을 열 확산 방정식(thermal-diffusion equation)이라고 표현했습니다. 이것은 이따가 아래에서 확인해 볼 수 있지만, 확산 방정식과 형태가 같기 때문에 열 확산 방정식이라는 이름을 저자가 채택했다고 생각합니다. 그러나 실제로는 열 방정식이라는 이름이 먼저 만들어 졌으며, 더 많이 언급됩니다. 밑의 링크는 로 연결되는 링크입니다. 이 사이트는 학술자료에서 언급되어 있거나 인용된 단어 혹은 문장을 데이터화해서 시대별 인용 비율을 보여주는 사이트입니다.

https://books.google.com/ngrams/graphcontent=heat+equation%2Cthermal+diffusion+equation&year_start=1600&year_end=2019&corpus=en2019&smoothing=3

Google Books Ngram Viewer

 

위 사이트에 들어가보면, heat equation이 1741년 처음 언급되어있음을 확인할 수 있습니다. 따라서 제 포스트에서는 열 방정식이라고 표현했습니다.

---

열 방정식의 유도(derivation of the heat equation)

3차원 열 방정식(three-dimensional heat equation)

9장에서 간단하게 열 전도에 대한 이야기를 했었습니다. 이것을 확장시켜서 먼저 3차원 열 방정식을 유도해보겠습니다.

우리가 할 가정은, 임의의 부피 V를 취하고, 그것을 덮는 경계면 S가 존재한다고 합시다.

그림으로 나타내보면 위의 모습과 같습니다. 제가 임의적으로 구형으로 그렸지만, 어떤 모양으로 잡아도 상관은 없습니다.

이전 절에서 언급했듯, 열 유속 J는 에너지의 단위 면적 당 흐름을 나타내는 벡터입니다. 이것과 폐곡면 S에 대해서 내적을 취해주면 면적을 뚫고 빠져나가는 열의 양이 됩니다.

이 때 빠져나간 열에 의해서, 우리가 관측하는 부피의 온도가 시간에 따라 감소하게 됩니다. 그래서 시간에 대한 미분으로 적어주면 마지막 식처럼 변하게 됩니다. 이 때 적분 변수가 서로 다르기 때문에, 둘 다 dV의 형태로 정렬해주기 위해 발산 정리(divergence thm.)를 적용할 겁니다. 이를 취하면,

같은 적분 변수를 가지게 되었습니다. 이 때 두 등식이 임의의 부피에 대해서 성립하기 위해서는 피적분 함수가 같아야 합니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 때, 열 유속의 정의에 의해서, J를 다시 T의 미분 형태로 적을 수 있는데요. 이를 대입해주면 1계 미분이 2계 미분, Laplacian으로 바뀌게 됩니다.

이것이 바로 3차원에서의 열 방정식(three-dimensional heat equation)입니다. 여기서 D는 열확산도(thermal diffusivity)입니다. 단위는 (m2/s)입니다. 이 식을 보면, 미분을 취하는 변수가 시간과 공간 두 개가 있으므로 방정식의 해 T가 T(x, y, z, t)로 표현됨을 알 수 있습니다.

1차원 열 방정식(one-dimensional heat equation)

위에서 얻은 결과를 1차원으로 투영시켜봅니다. 그러면 공간에 대한 매개변수가 하나로 줄게 되어 del 연산자를 일반적인 x에 대한 편미분연산자로 바꿀 수 있습니다.

그리고 이제 이것의 해를 구해볼겁니다. 이 때 편미분이 걸려있으므로 이것은 편미분방정식(PDE)가 되는데, 이것을 해결하기 위한 테크닉으로 "변수분리(separation of parameter)"를 취할 겁니다. 모든 PDE에서 통하는 것은 아니지만, 아까의 3차원 열 방정식을 보면, 미분 연산자가 각 변수에 대한 합으로 나타났기 때문에 변수 분리가 통할 가능성이 있기 때문입니다. 변수분리 과정은 밑에서 '구에 대한 열 방정식'을 구할 때 자세하게 언급할 것이기 때문에, 변수분리법을 모르는 분들은 그냥 받아들이시면 됩니다.

그래서 구해진 일반해는, 파동함수의 해와 유사하게 나오게 됩니다.

그리고, 이 일반해를 다시 미분해서 방정식에 대입해보겠습니다.

그러면 ω와 k의 관계를 알 수 있게 됩니다. 즉, 하나의 매개변수로 표현할 수 있는 것이죠.

그래서, 이제 k를 ω로 정리해서 표현하면 됩니다. 따라서, T(x, t)는 다음과 같습니다.

여기서 잘 보면, i가 두 개가 있어서 서로 제곱이 되면 실수(real number)가 되고, 이것이 지수(exp)에 걸리면 발산하는 요소가 됨을 알 수 있습니다. 따라서 x > 0인 영역에서 발산하지 않는 해를 찾아야 합니다. 그래서 이 형태는 기저(basis)가 되고,

그래서 기저의 선형결합(linear combination)의 형태로 T의 일반해를 적을 수 있습니다. 이 때 A(ω) 항이 추가되는데, 이것은 각 기저마다 걸리는 coefficient로 어떤 기저가 얼마나 우세하게 기여하는지를 보여줍니다. 이것은 경계 조건(boundary condition)에 의해서 결정됩니다. 따라서 경계 조건을 설정하여야 합니다.

x = 0인 지점의 온도가 시간에 따라 사인파로 진동하는 sinusoidal 형태의 경우를 고려하겠습니다. 그러면,

로 표현할 수 있게 됩니다. 우리가 기준으로 잡고자 하는 온도 T0에서 시간에 따라 ΔT의 온도만큼 진동하는 해입니다. 그런데 이것이 위에서 구한 일반해와 동일해야겠죠?

그래서 마지막 등식이 나오게 됩니다. 이 때 이 등식이 성립하기 위한 조건을 잘 생각해보아야 합니다. 급수의 유일성(uniqueness of series)에 의해, 같은 지수를 갖는 항만 남아야 합니다. 즉,

위와 같은 조건을 갖는 A(ω)만 존재할 수 있다는 것입니다. 그래서 이 표현을 T(0, t)에 대입해보면 다음과 같습니다.

여기서 밑줄을 쳐놓은 부분은 제곱근 안에 (-1)이 들어있어 허수 i로 작용함을 보여주고 있습니다. 이것에 유의하여, 식을 천천히 정리해줍시다.

그러면, exp 안의 실수만 꺼내올 수 있습니다. 이것은 결론적으로 감쇠하는 파동을 만들어주기 때문에 분리할 필요가 있습니다. 여기서 식을 깔끔하게 만들기 위해서, δ라는 변수를 도입합시다.

그러면 깔끔하게 정리가 되어서, 초기 온도 T0를 기준으로 점점 감쇠(decay)하며 진동하는 함수가 나옵니다. 아까 치환했던 δ는, 침투 깊이(skin depth)라고 불립니다. 전자기학에서 전기장이 도체를 뚫을 수 있는 깊이와 비슷한 개념으로 작용하기에, 침투 깊이라는 이름이 붙었습니다.

이렇게 1차원 열 방정식의 해를 얻음으로써 다음과 같은 특징을 확인할 수 있습니다.

온도는 거리에 따라서 지수적으로 감소하고, 온도 변화가 진동하는데 있어서 (x/δ)만큼의 위상 이동(phase shift)가 있습니다. 그리고, cos 항 내부의 식을 가져와서 비교를 해보면, x는 Ω의 제곱근의 역수에 비례하게 됩니다. 이것은 곧, 진동이 빠를수록 침투 깊이가 작다는 것을 보여줍니다.

정상 상태(the steady state)

이번엔 정상 상태의 경우를 다루어 보겠습니다. 열역학에서의 정상상태란 온도가 시간에 따라 변하지 않는 것입니다. 즉,

시간에 대한 온도의 미분 값이 0이라는 것이고, 따라서 열 방정식에 따라 공간에 대한 온도의 2계 미분 값도 0이 된다는 소리입니다. 아래와 같은 계를 고려할 수 있습니다. 고등학교 물리에서 다루는 <열 전도> 파트에서 주로 볼 수 있는 경우입니다. 금속판을 좌측에서 가열함에 따라 우측에 열이 전달되는 상황입니다.

이 때, 온도 차가 있는 물체를 가만히 놔두면 에너지가 이동해서 결국 열 평형 상태를 이룰 것임을 우리는 경험적으로 알고 있습니다. 따라서 온도를 유지하기 위해 지속적으로 열을 공급해주어야 합니다.

경계 조건을 미리 설정해놓고 문제를 해석을 해봅시다. 좌측의 온도는 T1, 그리고 우측의 온도는 T2입니다. 당연히 좌측의 온도가 우측의 온도보다 높습니다. 그래야 에너지가 오른쪽으로 이동하는 흐름이 생기니까요. 정상상태는 굉장히 간단하게 풀 수 있습니다. 0이 되는 조건이 문제를 쉽게 만들기 때문입니다. 그냥 순서대로 천천히 적분을 하면, T(x)는 1차 함수가 됩니다.

이 때 경계 조건을 적용해서 T(x)를 구해주면 마지막 수식처럼 됩니다. 우리가 9장에서 다룬 열 유속의 정의를 도입하여 열 유속을 구할 수도 있습니다.

구에 대한 열 방정식(the heat equation for a sphere)

구체는 대칭성이 있는 물체입니다. 실제로 자연계에서 구 형태의 물체를 발견하기는 어렵지 않죠. 구체에서는 열 방정식의 해가 어떻게 될까요? 우리가 풀어야 되는 '열 방정식'은 2계 미분 방정식이었습니다. 그러므로 구 좌표계에서의 라플라시안을 가지고 옵니다.

이 내용은 전자기학 카테고리의 '곡선 좌표계 도함수'에서 유도를 했었습니다. 구체는 theta(극각)와 phi(방위각)에 대한 대칭성을 가지므로, 각각의 미분값은 모두 0이 됩니다. 따라서 고려를 할 필요가 없죠.

그래서 위와 같이, 구 대칭성이 있는 물체에서의 라플라시안은 간단하게 변화될 수 있습니다. 이 결과를 열 방정식에서의 라플라시안에 대입해줍니다.

그러면, 마지막 줄의 수식이 '구체에서의 열 방정식(heat equation of sphere)'이 됩니다. 일단 이 방정식을 풀기 전에, 특수한 상태에 대해서 고려해봅시다. 정상 상태(steady state)인 경우 방정식이 간단해지므로, 정상상태에서의 해를 구해볼겁니다.

정상 상태의 조건은 시간에 대한 물리량의 변화가 0인 경우입니다. 따라서 좌변이 0이 되어 우변 역시도 0이 되어야 하므로,

와 같은 수식을 얻어낼 수 있습니다. 간단하니까 적분을 취해서 일반해를 구해봅시다. 양변에 r2을 곱하고 적분하여서, 첫번째 미분을 지워주면 우변은 상수(constant)가 됩니다(상수를 미분했을 때 0이므로).

이 상수를 B라고 두겠습니다. 미분이 한 번 더 남아있으니, 적분을 더 취해봅니다. 그러면 마지마 식처럼 적분 상수가 2개가 나오고, 하나는 (1/r)에 비례하는 항이 됩니다.

당연하게도 이 2개의 적분 상수는 경계 조건(boundary condition)에 의해 결정됩니다. 그래서 경계 조건을 설정해보겠습니다. 임의의 구체의 반지름이 a라고 합시다. 그러면 반지름이 a와 같거나 큰 위치에서의 온도는 외부의 온도이므로 T1이라고 하고, 반지름이 r인 지점(r < a)인 구체 내부이므로 이 온도를 T0라고 합시다.

구형 고양이가 가지는 체온에 의해 생기는 열 유속(heat flux)

이 때 우리가 구한 T(r, t)의 일반해에 경계조건 T(a, t) = T0 를 대입하면 A = T0 가 됨을 알 수 있습니다. B는 아직 모릅니다. 왜냐하면 r = 0을 대입할 수가 없기 때문이죠. 따라서, B를 B(r, t)로 놓을 수 있습니다.

이것을 구 좌표계 열 방정식에 대입하면, 좌변은

이고, 우변은 다음과 같이 구해집니다.

1계 미분 항은 상쇄되어서 2계 미분 항만 남습니다. 이 결과를 종합해서 좌변과 우변이 같다고 하면

이렇게 확산 방정식(diffusion equation)을 얻을 수 있게 됩니다. 서론에서 언급했듯, 저자가 열 확산 방정식이라는 이름을 왜 사용하였는지 알 것 같다는게 바로 이 이유였습니다.

미분방정식의 형태가 T에서 B 형태로 바뀌었으므로, 경계조건을 확실하게 할 필요가 있습니다.

경계조건의 형태를 바꾸어봅시다.

1, 2번째 경계조건은 쉽게 유도할 수 있습니다. 3번째 경계조건은 바로 냅다 r =0을 넣어버리면 안되고(발산하므로), 양변에 r을 곱해서 B(r, t)에 대한 식으로 바꾸어서 0을 대입해주면 됩니다. 그러면 전체 결과가 0이 되어야 하기에 B(0, t) = 0임을 알 수 있습니다. 그래서 새로운 경계조건을 다시 정리하면

가 됩니다.

자, 이제 지금부터가 시작입니다. 이제 일반해를 구하고, 경계조건을 대입해서 맞는 특수해를 찾아 유도할 것입니다. 일반해부터 구합니다.

여기서 변수분리형의 해로 가정하고 풀 겁니다. 이러한 형태의 미분방정식은, 각 index에 대한 미분연산자가 합으로 나타나기 때문에 이러한 방법이 통할 가능성이 있기 때문입니다(모든 항을 한 쪽으로 몰아넣으면 미분 연산자끼리의 합으로 나타남). 그래서 저는 R과 τ로, 각각 거리에 대한 함수와 시간에 대한 함수를 취하였습니다. 좌변과 우변에 이것을 대입해줍니다.

그리고 그 결과에, 양변을 Rτ로 나누어주어서 각각의 종속변수끼리 모이도록 합니다. 이 때 이 등식은 계속 성립하여야하므로, 좌변과 우변의 결과가 상수여야 함을 알 수 있습니다. 상수가 아니라면 모든 구간에서의 R과 τ에 대해 성립하지 않습니다(좌변과 우변이 서로 다른 변수로 미분했는데 같은 경우이므로, 절대 양변의 결과가 r 또는 t의 함수로 나오면 안 됩니다. 그래서 이러한 조건을 만족하는 경우는 상수입니다).

여기서 상수를 편의 상 -λ2 이라고 하겠습니다(사실 아무렇게나 잡아도 되는데, 하나의 테크닉입니다. 2계 미분이므로 제곱으로 두는 것이 편합니다). 그러면,

이렇게 두 가지 관계식을 얻을 수 있습니다. 2번 관계식의 경우, 자세히보면 지수에 허수가 존재하여 삼각함수의 형태로 일반해가 구해짐을 알 수 있는데요, 그러므로 편의상 (λ2/D)를 k라고 치환해보겠습니다. 그러면 결과를 정리했을 때

이렇게 삼각함수와 지수함수의 곱으로 표현할 수 있게 됩니다. 이제 적분상수 c1 -> α과 c2 -> β를 구해주기 위해 경계 조건을 대입합니다.

그러면 B(r, t) 에서 α = 0이 됨을 알 수 있습니다. 특정지을 수 있게 됩니다. 그리고 k도 구할 수 있죠. 이것을 다시 미분방정식에 대입해서 정리하면, λ에 대한 관계식을 얻을 수 있습니다.

이것들을 정리해서, 우리가 구한 해의 선형 결합(linear combination)이 우리가 찾고자 하는 일반해가 됩니다. 이 때 위에서 B(r, t)가 A에 비례한다고 하였으므로, 각 n 에 해당하는 coefficient를 An으로 써서 가중치(weight)를 알아낼 수 있습니다. 이것은 t에 대한 경계조건을 부여함으로써 구할 수 있습니다. 만약 t = 0이라면

위와 같이 Fourier 급수 형태로 나오게 됩니다. 이 때 계수 An은 sin 함수의 직교성(orthogonality)을 이용하여 구할 수 있습니다. 양변에 sin (mπr/a)를 곱하고 적분해주면 됩니다.

이러면 좌변의 경우는

이고, 우변의 경우는,

처럼 나오게 됩니다. sum이 사라지게 된 것은 sin 함수의 직교성에 의해 kronecker delta δnm이 되었고, 이에 따라 sum이 사라지고 n = m 이 되어 index가 같은 항만 남았기 때문입니다. 이제 이 두 결과를 등식으로 연결해주면,

계수를 얻을 수 있습니다. 이제 다 끝났습니다. 결과를 정리하면 B(r, t)와 T(r, t)는 다음과 같이 나타납니다.

그럼 이제 이것이 물리적으로 맞는 결과인지 확인해볼 수 있습니다. r -> 0인 극한을 고려하여 원점(구체 중심)에서의 온도를 구해봅시다.

x -> 0 일 때, (sin ax)/x = a 임을 이용하였습니다. 그래서 사인항을 치환해주고, 지수항들은 n = 1인 항만 남깁니다(n이 클수록 다른 항들이 빨리 줄어들어 기여도가 작아지므로). 그러면 마지막 수식처럼 근사를 취할 수 있습니다.

이렇게 지수의 급수로 나타나는 결과를, n차 항까지 근사하여 그래프로 간단히 나타내보면 다음과 같습니다.

가장 두꺼운 검은색 선이, 실제로 거치게 되는 시간에 대한 온도 곡선입니다. n = 4인 항까지의 근사를 취하였는데, 당연하게도 실제의 곡선을 가장 잘 따르는 것은 n이 클 때입니다. 그러나 결론적으로 많은 시간이 흐를 경우, 모든 경우의 곡선이 n → ∞ 까지의 곡선에 수렴하는 것을 알 수 있습니다. 이것은 초항(n = 1)의 기여가 가장 크기 때문에 나타나는 결과입니다.

뉴턴의 냉각 법칙(Newton's law of cooling)

뉴턴은 생각보다 다양한 연구를 했었는데요, 그 중에는 열역학에 관련된 개념이 있습니다. 열기가 식어가는 과정인 '냉각'에 대한 법칙이 있습니다. 그것을 뉴턴의 냉각 법칙(Newton's law of cooling)이라고 하는데요, 이 법칙의 주요 내용은 다음과 같습니다.

"물체가 냉각되는 비율은, 물체와 그 주위의 온도차에 비례한다."

그러나 이 법칙은 실제로 온도 차가 작을 때만 성립합니다. 태양 중심부의 온도와 우주를 비교하면 이론적인 결과와 많이 벗어나게 됩니다.

그래서, 결론적으로 적은 온도차에서 물체의 온도는 시간에 대해 지수적으로 주변 환경 온도에 접근해 갑니다. 완벽하게 지수함수로 나타나는 것은 아니지만, 시간이 충분하게 흐르면 좋은 근사가 됨을 저번 포스트에서 확인하였습니다.

자, 이제 뉴턴의 냉각 법칙을 설명하기 위해, 간단한 그림을 보면서 배워봅시다.

뉴턴의 냉각 법칙에 따르면 냉각률은 온도 차에 비례합니다. 냉각률은 열 유속에 의해 발생합니다. 이 때 열 유속은 벡터이기 때문에 방향을 지정해주어야 하는데, 이것은 h라는 벡터를 도입해서 나타내었습니다. 이 때 h는 물체 표면에 수직한 방향을 갖는 벡터입니다. 또한 크기는 열 전달 계수(heat transfer coefficent)와 동일합니다.

그래서 이를 통해 간단한 예시를 들어보자면, 뜨거운 커피가 담긴 커피잔에서의 상황이 있습니다.

여기서 냉각률은 임의의 비례 상수 A와, T(t) 그리고 공기의 온도 Tair의 차이(=ΔT)에 비례하게 됩니다. 여기서 커피(차, tea)에서 열의 전달이 오직 공기로만 이루어진다는 가정을 하겠습니다(다른 방법은 무시).

그러면, 시간마다 감소하는 열량은 열유속 J와 총 면적 A의 곱으로 나타나게 됩니다. 그리고 여기에 뉴턴의 냉각 법칙(온도 차에 비례)을 적용하면,

위와 같이 나타낼 수 있게 됩니다. 가장 좌변에 미분 연산자가 있으므로, 이 방정식의 해는 간단한 1계 ODE를 풂으로서 구해질 수 있습니다. 이 ODE를 풀기 좋게 깔끔한 형태로 바꾸어봅시다.

이 때 우변에 상수항이 남으므로, 이것은 비동차(Inhomogeneous) ODE 입니다. 따라서 임의의 시험해(trial solution)을 적용하여 완전해를 구해보겠습니다. 동차(homogeneous) 해는 지수함수 해인것이 자명하므로, 이것과 우변의 형태인 상수항의 선형 결합으로 시험해를 잡으면, 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

이제 이것을 주어진 ODE에 대입하고, 경계조건을 도입하여 미정계수 두 개를 구해줍니다.

그러면 α = Tair, β = Thot - Tair를 얻습니다. 이것을 원래 해의 형태에 대입하면 완벽한 해를 얻을 수 있습니다.

그래서 뜨거운 커피가 식어갈 때 온도의 함수를 구할 수 있었습니다. 여기서 이런 해는 다른 방법으로 열이 전달되는 것을 고려하지 않은 경우입니다. 커피는 액체이므로 대류(convection) 현상이 생기는 것이 자명합니다. 이것을 고려하게 되면 열 유동은 굉장히 복잡해집니다. 그러면 유체를 다루면서, 어떤 경우에 대류를 고려해야 할까요?

프랜틀 수(the Prandtl number)

그 대답은 여기서 할 수 있습니다. 9장에서 배운 내용에 따르면, 유체는 수송 특성 세 가지를 가집니다. 그 중 운동량 수송(momentum transport)과 열 수송(heat transport)은, 각각 대류와 전도(conduct)에 대해 깊은 관계를 맺고 있습니다. 따라서 위에서 고려한 대류를 무시할 수 있는 계는, 운동량 수송이 잘 일어나지 않는 계라고 생각할 수 있습니다.

그러면 수학적으로는 그러한 계를 어떻게 표현할 수 있을까요? 이것을 나타내는 무차원의 양이 바로, 프랜틀 수(Prandtl number)입니다. 프랜틀 수는 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 ν(nu)는 운동 점성(dynamics viscosity)으로, 점성 계수를 밀도로 나눈 값입니다. 이러한 운동 점성을 확산 계수(diffusion coefficient)로 나누어주면, 그것이 바로 프랜틀 수가 됩니다.

따라서, 분자의 항은 점성과 관련이 있고(운동량 수송), 분모의 항은 확산과 관련이 있기에 프랜틀 수가 클수록 대류가 압도적이고, 프랜틀 수가 작을수록 열 전도(확산)가 압도적입니다.

만약 프랜틀 수가 1이라면, 운동 점성과 확산이 비긴다고 생각할 수 있습니다. 따라서 열의 두 이동방식(대류와 전도)를 모두 고려해야겠죠.

여기서 우리가 구한 이상기체의 다양한 데이터들을 이용하여 이상기체의 프랜틀 수를 구할 수 있는데요.

우리가 아는 이상기체들은 (5/3)의 프랜틀 수를 가지게 됩니다. 하지만 더 정확한 κ을 이용하여 구하게 되면, 프랜틀 수는 (2/3)이 됩니다. 실제로 많은 기체가 (2/3)의 프랜틀 수를 가집니다.

열원(the source of heat)

지금까지 열 방정식을 다루면서 정상상태로 온도가 일정한 경우로 바꾸어 쉬운 방정식을 풀어보았었습니다. 이번에는 온도가 아닌, 지속적으로 공급되는 열의 양을 일정한 경우를 해석해보겠습니다.

열 유속의 발산은, 단위 면적을 뚫고 나오는 열 유속입니다. 즉 얼마나 열이 빠져나가는지를 나타내는 양이었죠. 따라서 열 유속은 시간에 따른 온도의 감소를 유도합니다. 그런데 이 때 이 계에 지속적으로 일정한 열을 공급하고 있다고 합시다. 단위 시간 동안 단위 부피에 생성하는 열의 양을 H라고 합시다. 그러면 이러한 경우에서도 미분방정식의 해 T(t)를 구할 수 있을 것입니다.

좌변의 열 유속을, 열 유속의 정의를 이용해 온도의 도함수로 바꾸어줍시다.

그러면 우리가 풀어야하는 문제는 Poisson 방정식(2계 미분방정식의 우변이 비동차인 형태)로 바뀌었습니다. 양변에 D(열 확산 계수)를 곱해주고 좌변에는 time term, 우변에는 position term이 들어가도록 열 방정식의 형태로 정리해주면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이것이 바로 일정하게 열을 공급해주는 열원이 있을 때의 열 방정식입니다. 이것을 이용해서 간단한 예제를 풀어봅시다.

사진에서는 생략되어 있지만, 단위 길이 당 H의 열이 만들어지고 있다고 가정합니다. 그러면 열 방정식은

이 되고, 정상 상태라는 조건을 걸면 좌변이 0이 되어 간단한 2계 ODE가 됩니다(막대 문제이므로, 열이 한 방향으로만 이동한다는 가정을 통해 del을 d/dx로 바꾸었습니다). 이제 적분을 취해주면서 일반해를 구하면 됩니다. 그렇게 구해진 일반해는

입니다. 이때 알파와 베타는 적분 과정 중 발생한 적분 상수입니다. 이것은 경계 조건을 통해서 구해질 수 있습니다.

경계 조건을 통해 적분 상수를 구했습니다. 그래서 막대의 온도 함수는 다음과 같이 구해집니다.

이제 중심부 온도 x = L/2에서의 T를 구하면 됩니다. 답은 다음과 같습니다.

입자 확산(particle diffusion)

열 방정식 파트에서 언급했듯, 열 방정식은 확산 방정식과 동일한 형태로 생겼습니다(계수의 차이 제외하면).

방정식에서의 요소들과 상수가 다르지만, 즉 물리적인 의미는 다르지만 수학적으로는 동일한 방법으로 구할 수 있음을 의미합니다. 이번 포스트의 마무리를 짓는 시점에서, 이러한 의미를 이용하여 예제를 풀어봅시다.

쉽게 말해서 물 속에 매우 푸석푸석하고 건조한 구형의 스펀지밥을 담궜다고 생각합시다. 스펀지밥은 너무도 메말라서 물을 하루종일 흡수할 수 있습니다. 이 때 스펀지밥이 물을 흡수하는 비율을 구하는 것입니다. 먼저 확산 방정식을 씁니다.

이 때 물체는 구형이므로 방위각과 극각에 대해 대칭성을 가지고 있습니다. 따라서 밀도 n의 라플라시안은 r 성분의 도함수만 가지게 됩니다. 이 때 구체는 블랙홀처럼 흡수만 하고, 자기 자신의 밀도는 변하지 않으므로 시간에 대한 밀도의 변화율은 0입니다. 정상상태라는 거죠. 이것을 이용해서 n(r)을 구하면 됩니다.

간단한 동차 2계 ODE이므로, 적분을 두 번 해주기만 하면 됩니다. 그러면 우리가 많이 보았던 형태의 함수가 나옵니다. 이 때 알파와 베타는 적분 상수이므로, 이것을 구하려면 뭘 하면 된다? 바로 경계 조건을 대입하는거다~.

경계 조건을 하나만 준 것 같지만, 구체를 제외하고 모든 공간에서는 밀도가 균일하므로 r → ∞ 인 곳에서 n = n0인 조건이 하나 더 숨어 있는 겁니다. 이것을 통해 적분 상수들을 다 구해주세요. 이렇게 하면 n(r)을 구할 수 있고,

여기에서 밀도 유속(flux)도 구할 수 있습니다. 유속은 밀도를 r에 대해 미분한 것의 (-) 값이므로,

가 됩니다. 밀도 차에 의해서 구체 방향으로 입자의 이동이 발생하므로, 유속의 값이 음수가 나오는 것은 적절해보입니다. 그리고 이제 흡수율을 구할 차례입니다.

흡수율은 밀도 유속에 구체의 겉넓이를 곱해주면 됩니다. 이 때 방출률이 아니라 흡수율이므로, (-r)방향으로 이동하는 것을 흡수로 잡으므로 양수로 부호를 바꾸어주면 4πaDn0가 됩니다.

이것을 박테리아에 확장할 수 있는데요, 박테리아가 자신의 몸 외부와 내부에 대해 밀도 차이를 유지하여 외부의 물질을 흡수하는 양은 자기 자신의 길이에 의해 결정된다는 것을 보여줍니다. 물론 다른 변수들도 고려하여야해서 완벽한 설명이 되지는 않지만, 이론적으로는 길이 a에 비례하는 흡수율을 보여줄 수 있다는 것입니다.