9. 기체의 수송 성질(Transport Properties in Gases)

개요

우리가 보통 부르는 유체(fluid)라는 것들은 쉽게 생각해서, 흐를 수 있는 상을 가지는 물질들의 총칭입니다. 일반적인 기체와 액체가 그러한 성질을 가집니다. 흐르는 물질을 매우 작은 하나의 점들의 집합체로 생각하면 연속체가 됩니다. 이러한 경우 흐르면서 입자 간 여러 물리량들을 전달해줄 수 있게 되는데요, 그렇게 전달할 수 있는 물리량들을 크게 3가지로 나눌 수 있게 됩니다.

점성(viscosity), 열 전도(thermal conductivity), 확산(diffusion)이 그 경우입니다. 각각의 경우들은 수송하는 물리량들이 다 다릅니다. 점성은 운동량 수송(momentum transport)의 결과이고, 열 전도는 열 수송(heat transport), 확산은 물질 수송(matter transport)의 결과입니다. 이러한 것들은 유체의 특성이라고 볼 수 있습니다. 우리는 그 중에서도 기체에 대해서 다루어 볼건데요, 일단 첫 번째로 점성에 대해서부터 분석해봅시다.

 

 

 

점성(viscosity)

점성(viscosity)은 전단 응력(층밀리기 힘)에 대한 유체의 저항으로 정의됩니다. 전단 응력을 층밀리기 힘이라고 적어놓았는데, 쉽게 생각하면 전단응력을 사용한 예시로 가위를 생각할 수 있습니다. 가위는 서로 엇갈리는 방향의 힘이 작용하면서 종이를 찢게 됩니다. 이것은 종이면에 수직한 방향으로 전단응력을 가함으로써, 물체의 변형을 유도하였기 때문입니다. 또 다른 간단한 예시는 푸딩의 윗면을 숟가락으로 밀면 찌그러지는 것을 예시로 들 수 있겠습니다. 푸딩의 윗면에 숟가락에 의한 전단 응력이 작용하여 푸딩을 변형시킨 것이죠. 이제 유체에

가해지는 전단 응력으로 바꾸어서 생각해봅시다.

두 경계면 사이에 유체가 놓여져 있고, 유체의 윗판이 일정한 힘 F를 받고 움직이고 있는 중입니다. 그리고 유체는 점성에 의한 저항력으로 윗판을 반대 방향으로 당기는 힘을 가하죠.

결과적으로 이러한 흐름은 윗판을 일정한 속도로 이동하도록 만들고 있다고 합시다. 이러한 흐름을 couette 흐름(couette flow)이라고 합니다. 이 때 couette 흐름의 조건으로써 "no slip condition(무 슬립 조건)"이 있는데요. 이는 경계 조건으로 작용하는 제한으로써, 경계면과 가장 가까운 곳에 있는 유체는 경계면의 속도와 동일한 속도를 가지게 된다는 조건입니다. 주로 접착력이 충분히 큰 유체에 대해서 이러한 조건이 만족됩니다. 그러니까, 미끄러지지 않고 착! 붙어서 서로 이동한다고 보면 됩니다. 이름에 딱 걸맞는 조건입니다. 결국 이러한 조건에 따라서 층에 따른 유체의 운동량 u가 달라지게 됩니다.

왜냐하면 no slip condition을 만족시켜야하고, 따라서 아랫층의 기체는 가만히, 위층의 기체는 u의 속도로 움직이고 있어야 합니다. 그래서 기체의 속도는 높이에 따라 달라지게 됩니다. 그래서 운동량에 대한 기울기를 만들어내게 되는데요, 우리는 현재 통계적으로 입자를 다룰 것이므로 당연히 운동량의 기댓값 를 사용합니다. 이 때 그림의 경우에서는 x 방향의 운동량만 고려하는 1차원적 문제이므로 로 나타내었습니다.

그래서, 윗층의 유체 속도와 전단응력은, 다음과 같은 비례 관계를 가집니다.

여기서 나타나는 비례 상수 η가 바로, 점성(점성 계수)이라고 불리는 물리량입니다! 이 때 전단응력은 τxz로 표현하였습니다. z 방향에 대한 운동량 기울기와 비례하게 됩니다. 그러면 반대로 기체의 운동량 선속(flux)는 전단 응력의 반대방향으로 작용하여 변형에 대해 버티려고 하므로, 그 부호가 반대로 됩니다. 여기서는 운동량 선속을 Πz라고 표현하겠습니다.

운동량 선속은 z 방향에 대해 그 변화가 형성되어 있습니다. 따라서 z 방향의 운동이 Πz를 결정하는 요소가 됩니다. 그러므로 z축 운동을 분석합니다. 유체 속에서 분자가 z 방향으로 이동하는 변위는, 평균 자유 거리 λ와 z축에 대한 각도 θ를 고려하여, λ cos θ로 표현할 수 있습니다. 이것이 z축 변위의 성분이죠. 따라서 전달되는 운동량은 마지막 줄의 수식처럼 나타납니다.

이제 여기다 분포 함수를 곱해서 적분을 취할 것입니다. 특정 방향과 특정 속력을 가지는 입자의 속력 분포는 다음과 같습니다.

이것을 위에서 구한 전달되는 운동량에 곱해주어 전 방향과 무한대의 속력까지 적분을 취해줍니다. 이 때 θ의 적분 구간은 0부터 π까지입니다. 지금까지 했던 적분들은 보통 (π/2)까지만 진행했었는데 그 두 배가 된 이유는, 모든 방향을 고려해야하기 때문입니다. 압력 같은 물리량들은 벽면에 대해서 뚫고 나가는 방향에 대한 힘을 구해야 했기 때문에 절반만 구했지만, 유체 속 입자는 사방으로 이동할 수 있으므로 0부터 π까지가 맞습니다. 유의하시기 바랍니다. 적분 결과는,

로 나오게 되고, 마지막 줄의 빨간색은 운동량 선속의 정의였습니다. 이 두 식이 같아야하므로, 우리는 η를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그리고 점성을 구했으므로, 점성의 성질을 확인할 수 있습니다. 일단 첫 번째로 압력 항이 없으므로 점성은 압력에 무관하게 됩니다. 그리고 점성은 온도의 제곱근에 비례하게 되는데, 이것은 평균속도가 온도의 제곱근에 비례하기 때문에 나타나는 결과입니다.

그리고 이상 기체의 점성도 구할 수 있습니다.

우리가 구한 속도 분포와 평균 자유거리, 그리고 충돌 단면적은 모두 이상 기체라는 가정 하에 유도되었습니다. 따라서, 그러한 데이터들을 대입해주면 위의 결과를 얻을 수 있습니다. 자세한 증명 과정은 pf)에 적어놓았으니 참고하세요.

또한 이러한 결과는, L(용기의 크기) >> λ(평균 자유 경로) >> d(분자의 지름)인 조건 하에서 잘 맞습니다. 이 조건은 분자가 진행하는 방향에 대해서 분자의 충돌 횟수가 적당한 조건입니다.

기체의 점성을 측정하는 방법은 다양하지만, 아래와 같은 방법이 있습니다. 그림처럼, 서로 다른 두 회전체를 설치하고 그 사이에 기체를 채워넣습니다. 그리고 가운데에 있는 회전체는 비틀림 줄로 연결되어 있으며, 비틀림의 정도는 줄에 설치된 거울을 통해 입사각/반사각 비교로 그 각도를 구할 수 있습니다.

만약 바깥의 회전체를 회전시키게 되면, 기체는 점성에 의해 운동량을 내부 방향을 전달하여 가운데의 회전체를 회전시키게 됩니다.

그러면 어느 순간 비틀림 저울이 진동하지 않고 멈추어 있는 정상 상태에 도달할텐데 이 때 각속도를 분석하여 기체의 점성을 확인할 수 있습니다. 그 과정은 오래 걸려서 설명하지는 않겠지만, 위 사진과 아래의 사진을 보면서 유도하시면 누구던지 할 수 있습니다. 어렵지 않으니까요.

 

 

 

열 전도도(thermal conductivity)

이번에는 열 전도도에 대해서 다루어보도록 하겠습니다. 기본적으로는, 점성과 동일한 메커니즘을 따릅니다. +z 방향으로 온도가 감소하면 +z 방향으로 열의 흐름이 생기게 됩니다. 즉 온도 T의 기울기에 대해 반대 방향으로 형성되는 것이 열 유속 J**z**이죠.

열 전도도는, 그러한 비례 관계에서의 비례 상수 κ입니다. 단위는 W/(m·K)입니다. 우리는 이러한 미분 방정식을 3차원 벡터 도함수로 바꾸어서, gradient로 나타낼 수 있습니다. 그게 바로 우측의 식이죠.

이제 정의를 알았으니, 기체 분자가 어떻게 열을 나르는지 생각해봅니다.

기체 분자 하나를 가열해서 1 K의 온도를 올릴 때, 평균적으로 (3kB/2)의 에너지가 필요합니다. 이는 단원자 이상 기체의 경우에 해당하는 것이고, 만약 기체의 자유도가 높아 에너지가 더 필요하게 된다면 결과는 달라집니다. 하지만 우리는 가장 단순한 단원자 이상기체만을 고려합시다. 그러므로 분자 하나의 열용량을 Cm이라고 했을 때, 이는 (3kB/2)가 됩니다.

그리고 오른쪽 그림처럼, 분자의 이동에 따른 열 유속이 발생했을 때, 이동한 분자는 평균 자유 거리 λ를 이동합니다. 이 때 z 축으로는 λcos θ의 성분만큼 이동할 것입니다(점성의 경우와 동일합니다). 따라서, 분자의 이동에 따라 발생한 열 에너지 차이는 다음과 같습니다.

점성과 동일하게, 속력 분포 함수를 곱해서 적분을 취해줌에 따라 열 유속 Jz 값을 얻을 수 있습니다.

아까의 열 유속 정의는 붉은 색으로 표시했습니다. 적분 값이 이 정의와 동일해야하므로, 우리는 열 전도도 κ를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 C**V**(등적 열용량)이 나오게 되는데, 이는 기체의 밀도 n의 정의에 따라, 분모에 있는 부피가 열용량을 나누고, 분자에 있는 항 m은 Cm에 곱해져 기체의 단위 부피 열용량이 됩니다. 결국 단위 부피 열용량은 등적 열용량이 되죠.

점성과 동일하게 압력 p 항이 없으므로 압력에 무관하며, 온도의 제곱근에 비례하게 됩니다. 또한 이상 기체의 물리량들을 대입하여 나타낼 수 있고, 적당한 충돌의 조건 하에서 잘 정의됩니다. 마지막으로 온도가 상수일 때는 "질량의 제곱근과 분자 직경의 제곱의 곱"에 대한 역수에 비례하게 됩니다.

그리고 등적 비열로도 표현할 수 있습니다. 질량에 의존하지 않는 열용량의 개념이 바로 비열인데, 열용량을 질량으로 나누어주면 되거든요.

 

 

 

 

확산(diffusion)

이제 기체의 마지막 특성, 확산입니다. 이미 8장에서 방귀와 관련된 확산의 개념을 조금 언급했는데, 오늘은 그것을 수식으로 확인해보겠습니다. 확산은 물질의 수송에 대한 결과로써, 그 근원은 밀도 차가 됩니다.

만약 n*를 위치에 따른 입자의 밀도라고 하고, Φ를 입자의 유속(flux)라고 하면, 위 사진에서의 "Fick 법칙"을 만족하게 됩니다. 이것은 확산에 대한 법칙입니다. 그리고 이전까지의 논리 전개와 동일하게, D라는 비례 상수를 가지게 되는데, 이것을 '자기 확산 계수(coefficient of self-diffusion)'라고 부릅니다.

이제 물리적인 해석을 위해서 다음과 같은 계를 생각해봅시다!

밀도에 의해서 수송 현상이 발생하게 되는데, 단위 면적 당 이동하는 입자의 양, 즉 유속을 생각할 수 있습니다. 전체 유속은 AΦz이고, 빠져나가는 유속은 AΦz에 미소 유속에 dz를 곱한 (∂Φz/∂z)dz 을 더해주면 됩니다. z 축 위치에 따른 유속의 변화율을 길이만큼 곱해준 것이죠.

그러면 (유입되는 입자의 양)-(배출되는 입자의 양)에 따라 단위 부피 안에 존재하는 기체의 밀도가 시간에 따라 변하게 됩니다. 즉, 전체 질량 n*Adz를 시간에 대해 미분해주면 유속 차이가 되어야 한다는 것입니다.

그렇게 하여 마지막 관계식을 얻습니다. 여기서 분자의 유속을 정의하던 Fick 법칙을 적용하여 유속 Φz에 다시 대입해줍시다. 그러면,

위위 형태의 2계 미분 방정식을 얻습니다. 이것을 1차원 확산 방정식(one dimensional diffusion equation)이라고 합니다.

당연히 더욱 일반화 된 확산 방정식은 3차원에 대한 방정식입니다. 이것은 발산 정리(divergence theorem)을 이용하여 유도할 수 있습니다. 위와 똑같은 전개이고, 벡터 미적분학을 조금 도입한 것뿐이라서 자세한 설명은 생략하고 사진만 게시하도록 하겠습니다.

마지막으로 계수 비교를 통해 확산 계수를 구할 수 있습니다. 그리고 확산 계수의 특징은 다음과 같습니다.

그리고 단원자 이상기체의 평균 자유 거리와 속력의 기댓값을 이용하면 다음과 같은 유도도 가능합니다.

마지막 수식은 서로 다른 입자가 섞여있는 공간에서의 확산을 나타내는 보정된 확산 계수입니다. 이 때 n은 서로 다른 두 입자 밀도의 합입니다.