6. 압력(Pressure)

2024. 8. 23. 03:04·물리학/열&통계물리학
목차
  1. 개요
  2. 분자 분포(Molecular distribution)
  3. 이상 기체 법칙(the ideal gas law)
  4. 돌턴의 법칙(Dalton's law)
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개요

 

압력은 기체 분자들이 용기 벽면에 가하는 힘입니다. 이 때 기체 분자들은 무수히 많고, 따라서 일정한 시간 간격 동안 무수히 많은 분자들이 벽면을 때리기에 우리가 보는 '압력(Pressure)'이라는 개념은 '미시 세계의 입자들이 단위 시간동안 단위 면적에 가하는 평균 힘'이 됩니다. 오늘의 주제는 압력이고, 이 압력이라는 개념이 어떻게 정의되는지 통계적인 분석을 해보도록 하겠습니다.

 

압력의 정의: 단위 면적 당 가해지는 힘의 양

PP를 압력, FF를 가해지는 힘, AA를 단면적이라고 하면
P=FAP=FA
1Pa=1N/m21Pa=1N/m2, 여기서, PaPa는 파스칼(Pascal)로 읽으며, SI 단위이다.

 

다음은 비 SI 압력 단위입니다.

 

비 SI 압력 단위
1bar=105Pa=1000hPa1atm=1.01325×105Pa=1013.25mbar1torr=1atm=760mmHg=101325Pa760≈133.32Pa

 

bar, atm, torr가 있는데요. bar는 1 Pa의 105배 입니다. 1 atm은 대기압을 기준으로 한 단위입니다. bar 단위로 변환하면 1013.25 mbar가 되죠. 마지막으로 torr(토르)는 수은 기둥으로 대기압을 측정한 이탈리아의 과학자 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)의 이름을 딴 단위입니다. 대기압을 수은 기둥의 압력으로 비교하였을 때 76cm의 수은 기둥이 누르는 압력이 됩니다. 즉 76 cmHg = 1 torr이죠.

 

 

 

분자 분포(Molecular distribution)

이제 분자가 어떻게 분포하는지 알아볼건데, 그전에 기본적인 개념을 훑고 갈겁니다. 그 주인공은 '입체각(solid angle)'인데요.

가장 단순하게 2차원에서 설명을 해보겠습니다. 2차원 평면에 어떤 곡선을 놓고, 그 곡선을 이루는 점 하나마다 원점과 대응되도록 선을 잇습니다. 그리고 원점을 중심으로 하는 단위원(반지름 1)과 선들이 만나는 집합을 입체각이라고 합니다. 결국 입체각은 단위원과 만나는 원주의 일부분이 됩니다. 그래서 2차원 평면에서 가장 큰 입체각을 갖는 도형은 단위원의 원주, 2π가 됩니다.

이것을 그대로 3차원에 확장할 수 있습니다. 똑같은 방법대로 논리를 전개하되, 이번에는 공간 상에서 임의의 곡면을 고려합시다. 이 면의 미소 요소인 점들을 원점과 한 선으로 이은 후, 단위구와 만나는 집합들을 고려하면 하나의 면적이 됩니다.

그러면 예시로 임의의 구면에 대한 입체각을 구해볼까요? 입체각은 보통 Ω(오메가)라는 기호로 표현됩니다. 그렇다면 dΩ를 우리가 원하는 영역에 대해 적분해주면 특정 도형의 입체각이 구해질 겁니다. θ 값(z축과 이루는 각도)을 변수로 두고, 0도부터 임의의 최댓값 θmax(<π)에 대응되는 면적은 다음과 같이 구해집니다.

이제 입체각이라는 개념을 이용하여, 방향에 따른 분자의 속력 확률 밀도를 구해보겠습니다. 속력에 대한 전체 확률 1을 모든 방향에 대응되는 입체각 4π로 나누어주면, 임의의 방향으로 진행하는 분자의 속도에 확률밀도가 나올 것입니다.

이제 이 밀도에 우리가 원하는 임의의 미소입체각 dΩ을 곱해주면, dΩ의 변화량에 대한 확률이 나오게 되는거죠. 우리가 어떤 용기에 기체를 담았을 때 압력이라는 것은 용기 면에 수직한 성분으로 이동하는 분자들에 의해서 발생하는 것입니다. 그래서 반구를 고려하여 그 반구 내에 존재하는 입자들이 충돌하면서 벽면에 가하는 힘의 성분을 고려할 것이기 때문에 입체각의 도입이 필요합니다. 이 때 우리가 원하는 임의의 방향을 z축이라고 생각하고, 그와 이루는 각도를 극각인 θ로 표현하면, [θ, θ+dθ]의 입체각은 다음과 같습니다.

그리고 이것을 우리가 이전에 구해놨던 속력 확률 밀도 함수 f(v)와 곱해주면, 속력 [v, v+dv]와 방향 [θ, θ+dθ]에 속하게 될 확률이 됩니다(조건부 확률)!

여기서 부피에 대한 입자의 밀도 n을 곱해주면, 속력 [v, v+dv]와 방향 [θ, θ+dθ]에 속하는 입자들의 밀도(가중치)를 얻어낼 수 있습니다. 앞으로 이 식을 이용할 것입니다.

이제 기체 분자의 이상적인 충돌에 대해서 고려합니다. 일정한 시간 동안 충돌하는 입자들을 고려하면 특정 부피에 속한 기체들만 시간 내에 충돌을 일으킬 수 있습니다. 기체의 속도가 v일 때, 높이가 v dt cos θ이고 면적이 A인 평행육면체 내부에 속한 분자들이 시간 dt 동안 충돌이 가능합니다.

그래서 여기다 아까의 분자 확률 밀도 (수식 1)을 곱해주면 부피 차원과 밀도 차원이 곱해져 결국 입자의 수를 나타내게 됩니다. 이것을 다시 단위 면적과, 단위 시간으로 나누어 줍시다.

그러면 위의 값을 얻게 됩니다. 이것이 물리적으로 의미하는 바는, 특정 속력과 각도를 가지고 벽면에 충돌하는 입자의 수 입니다. 이제 이것을 이상 기체에 적용시켜 봅시다.

 

 

 

이상 기체 법칙(the ideal gas law)

위에서는 충돌하는 입자의 수를 유도하였습니다. 이젠 각각의 입자 하나마다의 운동량 변화를 고려할 것입니다. 운동량 보존 법칙에 따르면, 운동량의 변화는 곧 충격량으로 일정 시간에 대한 힘의 양이 됩니다.

우리가 보고자 하는 입자들이 만들어 내는 "충격"은 면의 수직한 성분에 의해서 발생합니다. 따라서 수직 성분의 운동량이 탄성 충돌을 한다는 가정 하에 딱 2 배 크기의 충격량을 벽면에 전달시킵니다. 이것을 아까의 입자 수와 곱해주면 압력이 됩니다.

따라서 압력 p는,

여기서 입자의 밀도 n을 조금 수정해봅시다. n=N/V임을 이용하여 다시 대입해봅시다.

그러면 이상 기체 상태 방정식을 얻습니다. 결국 압력을 유도하기 위해 달려왔던 가정이 이상 기체 상태 방정식까지 만들어 냈습니다. pV=NkBT는 입자의 수에 대해서 논할 때 유용하고, mol 단위의 경우는 아래의 붉은 네모 안에 표기되어 있는 형태로 바뀌게 됩니다.

그러면 조금 의아할 수도 있습니다. 압력은 결국 입자가 벽면에 가하는 충격량에 의해서 발생하는 것입니다. 그러면 왜 식에 질량과 속도가 들어있지 않은 걸까요? 질량과 속도는 운동량을 결정하는 요소니까, 더 큰 운동량을 가지고 벽면에 충돌하면 큰 압력을 만들어낼텐데요.

그 이유는 분자량(질량)과 속도가 서로 반비례하는 관계이기 때문입니다. 무거운 원소의 기체일수록 속도가 느리고, 반대로 가벼운 원소의 기체일수록 속도가 빠르기 때문에 충돌 빈도가 알아서 조절되기 때문에 같은 조건(부피, 몰수, 온도)라면 기체의 종류에 상관없이 압력은 일정한 겁니다.

이상 기체 상태 방정식을 유도하였으니 간단하게 두 가지 예제를 풀어봅시다. 첫 번째는 표준상태에서 1 mol의 이상 기체에 대한 부피를 구하는 것입니다. 이상 기체 방정식에 조건을 대입하기만 하면 구해집니다.

두 번째 예제는 압력과 운동 에너지 밀도에 대한 관계를 나타내는 문제입니다. 에너지 밀도 u는 결국 에너지의 기댓값을 입자수 밀도와 곱한 값입니다. 우리는 아까 위에서 압력에 대한 표현을 얻어냈으므로, 에너지 밀도와 비교하여 분수꼴로 나타낼 수 있습니다.

그러면 압력과 에너지 밀도가 같은 차원이고, (2/3)배의 에너지 밀도가 압력과 같은 값을 가짐을 알 수 있네요.

 

 

 

돌턴의 법칙(Dalton's law)

마지막은 돌턴의 법칙입니다. 이것은 화학 2에서도 다루는 '분압 법칙'으로 거론되기도 하는 법칙입니다. 상당히 간결하고 직관적인 법칙이기 때문에 깊은 언급은 하지 않겠습니다.

너무도 당연한 소리입니다. 아까 위에서, 기체의 종류에 상관없이 온도/부피/몰수라는 조건이 동일하면 압력 역시도 동일하다는 것을 확인하였습니다. 따라서 한 용기 내에 다양한 기체들이 섞여있어도, 각 기체들이 만들어내는 분압은 오직 그 기체의 양에 의존하게 됩니다. 따라서 모든 기체에 대한 분압을 더하면 혼합 기체의 전체 압력과 동일하게 되는 것이죠! 단, 용기 내의 기체들이 반응하여 분자의 몰수가 변하는 등의 과정만 없다면 말이에요.

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