13. 역격자, 브릴루앙 영역, 결정 내의 파동(Reciprocal Lattice, Brillouin Zone, Waves in Crystals)

12장에서는 격자와 결정 구조에 대해서 공부했습니다. 이것은 우리가 바라보는 세상인 실공간(direct space)에 관점에서 기술된 형태입니다. 그러나 가장 앞부터 걸어온 길을 생각해보면, 2~4장에서 격자의 진동과 전자(electron)의 경우를 생각해보면 파동(waves)의 형태로 기술하기 좋다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 파동은 실공간보다 역공간(reciprocal space)에서 더 잘 기술됩니다. 그 이유는 파동을 나타낼 때 파수(wavenumber)로써 우리가 보고자 하는 파동을 선택할 수 있기 때문입니다. 그러한 점에서 역격자는 파동을 기술하기 좋은 공간이 됩니다. 따라서 이 장에서, 우리는 3차원 시스템에서 phonon과 electron의 dispersion(분산)을 나타낼 수 있는 스킬을 얻을 것입니다.

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지금까지 역격자에 대해서 몇번씩 설명한 이력이 있습니다. 가장 먼저, 3차원에서의 역격자에 대한 조금 더 엄밀한 정의를 알아봅시다.

1) 3차원에서 역격자(Reciprocal lattice in three dimensions)

(i) 1차원의 복습(Review of one dimension)

가장 단순한 1차원부터 다시 시작해보겠습니다. 1차원에서 역격자 공간이 어떻게 생성되는지를 떠올려봅니다.

격자는 주기성(periodicity)을 가진 시스템입니다. 그래서 임의의 위치를 골라도 그것은 primitive lattice vector와 basis의 합으로 표현할 수 있었습니다. 이것을 수학적으로 나타내면 위의 사진에 첨부된 수식처럼, e**i(k+G)x** = 1을 만족하는 G점들의 집합이 바로 역격자가 되었습니다.

(ii) 역격자 정의(Reciprocal lattice definition)

그럼 이제 조금 더 고차원으로 확장해보죠. 1차원의 경우는 벡터로써 다룰 필요가 없으므로(방향이 하나이기에 단순히 실수(real number)처럼 다루어도 되었음) 지수 인자가 스칼라(scalar)로 기술되었습니다만, 2차원부터는 변수가 2개이기에 벡터로 기술하는 것이 더욱 편리합니다. 따라서 지수 인자를 다음과 같이 바꾸어서 표현할 수 있습니다.

이때 G 벡터와 R 벡터의 내적(inner product)로 표현된 것을 볼 수 있습니다. 2차원 이상부터 자유도를 2개 이상씩 갖기 때문에 내적이 다소 편리하다는 것을 알 것입니다.

만약 3차원 공간 상에서의 격자를 다룬다면, direct space의 자유도가 3개이므로 reciprocal space에서의 자유도 또한 3개가 됩니다. 따라서 R과 G 벡터를 각각 다음과 같이

a와 b 벡터의 정수배 선형결합으로 표현할 수 있습니다. 이때 R과 G를 표현하는 기본 벡터들이 a와 b로 다른 것을 인지하여야 합니다. 그러면 이제 기본 벡터가 어떻게 정의되는지 자세히 알 필요가 있겠습니다. 일단 a 벡터의 경우는 실공간을 나타내는 기본 벡터이기 때문에 딱히 추상적인 개념이 아닙니다. 그렇다면 난관은 b 벡터겠네요. b 벡터는 "정의 상" reciprocal space의 기본 벡터를 의미합니다. 이때, reciprocal vector가 가지는 성질은 다음과 같습니다.

서로 lower index가 다른 a 벡터와 b 벡터를 내적했을 때 직교(Orthogonal)하는 결과를 얻고, 만약 index가 같다면 내적 결과로써 2π를 얻어야 합니다. 이것은 1차원 사슬을 고려했을 때 x**n과 Gm**의 곱이 2π의 배수라는 것과 동일한 의미입니다. 조금 더 고급지게 위의 성질을 표현하면, 크로네커 델타(Kronecker delta)로써 나타낼 수 있죠.

이 성질을 만족하는 벡터를 어떻게 만들 수 있을까요? 어떤 두 벡터와 수직한 새로운 벡터를 찾는 것은 외적(outer product)과 깊은 관계가 있습니다. 따라서 우리가 현재 찾고 있는 역격자 공간의 기본 벡터 b는, 실격자 공간의 기본 벡터 ai 간의 외적으로써 표현됩니다. 아래의 그림을 참고합니다.

역격자 공간의 기본 벡터 b의 정의

이때 각 축마다 벡터 크기의 분모에 삼중 스칼라 곱(triple scalar product)이 취해져 있는 것을 볼 수 있는데, 이것을 물리적인 의미로 해석하면 unit cell의 부피를 나타냅니다.

자, 그러면 이렇게 b 벡터를 정의하였는데 실제로 Kronecker delta의 성질을 만족하는지 알아볼까요? 두 경우의 내적 결과를 계산해봅시다.

그러면 실제로 Kronecker delta의 성질을 띠는 것을 확인할 수 있습니다!

따라서 위에서 알아본 G 벡터와 R 벡터의 정의를 이용해 두 벡터의 내적을 표현하면 다음과 같고

이때 모든 종류의 m과 n은 정수(integer)이므로, 지수인자로 올라갔을 때 결과 e**i(G·R)**은 항상 1이게 됩니다(지수 인자가 2π 주기성을 갖음).

역격자 기본 벡터(Reciprocal primitive vector)의 예시(SC, BCC, FCC)

그러면 우리가 배웠던 단순한 형태의 Cubic들을 reciprocal space로 옮겨 각 격자구조들의 primitive vector를 알아봅시다. 먼저 가장 단순한, 단순 입방 격자(Simple Cubic; SC)입니다.

b 벡터들의 정의를 이용해 구해보면 기본 역격자 벡터 또한 단순한 형태로 나오는 것을 알 수 있습니다. 각각의 b 벡터는 1D Chain에서의 역격자 벡터의 형태와 동일한 것을 확인할 수 있습니다.

다음은 체심 입방 격자(Body-Centered Cubic)에서의 역격자 벡터입니다.

직접 구해보면, BCC의 reciprocal vector는 실공간에서의 FCC primitive lattice vector와 동일하다는 것을 알 수 있습니다!

그렇다면 마지막으로 면심 입방 격자(Face-Centered cubic)은 어떨까요?

이 역시도 reciprocal vector를 구해보면, direct space에서의 BCC의 lattice vector와 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 즉 FCC와 BCC는 상보적인 결과를 제시한다는 것을 알 수 있네요.

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(iii) 푸리에 변환으로써 역격자(The reciprocal lattice of Fourier transform)

이제 조금 더 고급수학을 이용하여 역격자를 설명하려 합니다. 위에서는 단순하게 외적을 통해서 역격자를 정의했지만, 더욱 일반적인 경우로 확장하면 역격자는 실격자의 푸리에 변환(Fourier transform)으로써 표현된다고 말할 수 있습니다. 1차원에서부터 시작해봅시다.

우리가 격자점(lattice point)라고 말하는 지점들은 주기적인 거리(격자 상수, lattice constant)를 두고 존재하게 됩니다. 따라서 임의의 정수 n과 격자 상수 a를 도입하면 격자점 Rn은

으로 나타납니다. 그럼 여기서 약간의 질문이 있습니다. 격자점의 밀도(density)는 어떻게 기술할 수 있을까요? 일단 점은 부피가 없는 도형입니다. 따라서 밀도를 정의했을 때 델타 함수(dirac-delta function)으로 기술이 되겠네요.

따라서 격자 밀도(lattice density)를 다음과 같이 정의합니다.

이제 이 밀도 함수를 푸리에 변환을 취해보겠습니다. 그러면

와 같이, 지수함수의 무한합을 얻게 됩니다. 여기서 더 정리가 되나 싶겠지만 약간의 직관을 더해 생각을 해보면 정리가 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 이 무한합은 수렴(converge)할까요, 아니면 발산(diverge)할까요? 그것은 ka 값에 따라 달라진다는 것을 알 수 있습니다. 만약, ka가 2π의 정수배가 아니라면 합 기호 내의 eikan은 복소수가 되고, 따라서 무한합을 취했을 때 모든 각도에 대해 상쇄가 되어 0으로 수렴하게 됩니다.

오일러 공식을 시각화한 그림

하지만, 2π의 정수배가 된다면 달라집니다. 그때부터는 허수부가 모두 0이 되고, 양의 실수부만 남기 때문에 무한합을 취했을 때 무한대로 발산하게 됩니다.

따라서 이 결과를 종합하면, ka=2πm(n과 다른 자유도를 가진 임의의 정수)이라고 가정하였을 때 m=(ak/2π) 혹은 k=2πm/a에서 발산하는 Delta function이 된다**는 것입니다.**

자, 그러면 우리에게 중요한 것은 더 이상 n이 아니라 m입니다. 따라서 합 기호의 index를 n에서 m으로 바꾸어 표현할 필요가 있습니다. 위 조건을 만족하는 delta function으로 바꾸어 주면

을 얻습니다. 중간 과정에서 Delta function의 성질을 이용하였고, 마지막에 2πm/a = G**m**임을 이용하여 다시 정리했습니다. 그 성질이 궁금하신 분은 하이퍼링크를 참고하세요.

이제 이것을 더 높은 D차원 문제로 일반화(generalize)할 수 있습니다. D차원에서의 격자 밀도 함수(lattice density function)을 푸리에 변환하면

으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 v는 D차원 격자 공간의 부피를 의미합니다.

(아래는 부연설명 추가중)

(iv) 격자면 무리로서 역격자점(Reciprocal lattice points as families of lattice planes)

위에서 역격자 벡터를 푸리에 변환으로써 정의하였습니다. 이제 기하학적인 구조로써 역격자점을 해석해보도록 하겠습니다.

사람의 기준에서는 direct space에서의 점, 선, 면으로써 격자를 해석하는 것이 직관적입니다. 따라서 실공간에서의 lattice plane과 reciprocal lattice 사이의 관계를 알아봅니다.

먼저, 격자면(lattice plane)은 한 직선 상에 있지 않은 3개 이상의 lattice point로 결정되는 면을 의미합니다. 고등학교에서 배웠던 <기하와 벡터>의 내용을 떠올려봅시다. 어떤 공간 상에 두 개의 점을 정의하게 되면, 그 두 개의 점을 이어줌으로써 선(line)을 만들 수 있습니다. 만약 점이 세 개로 늘어난다면, 그 점들이 한 직선 상에 있지 않다는 가정하에 면(plane)이 결정됩니다.

이제 수학적인 면과 격자에서의 면에 대한 차이를 말해볼 것인데요, 수학에서 이야기하는 면은 오직 하나입니다. 하지만

(v) 격자면과 밀러 지수(Lattice plane and Miller index)

2) 브릴루앙 영역(Brillouin zone)

3) 3차원 결정에서 전자파동과 진동파(Electronic and Vibrational Waves in crystal in three dimensions)