20. 분배 함수(The Partition Function)

 

개요

이번 포스트에서는 1학기 내용인 열역학 분량에서 간단하게 배웠던 분배 함수를 다시 이용하여 다양한 상태함수를 유도하고, 그 관계를 확인하는 것을 중점적인 내용으로 합니다. 4장에서는 분배 함수를 정말 간단히 언급했지만, 2학기 분량인 지금부터의 포스트에서는 분배 함수의 의미가 무엇인지, 그리고 그것이 각각의 계마다 어떻게 적용되는지에 대해 적절히 이해를 하여야 어려움을 덜 수 있습니다. 추후 내용에서 전반적인 통계역학의 내용이 이해가 가지 않는다면 이 포스트를 면밀히 읽어보시기를 권장드립니다.
 
 
 

분배 함수 이용(using the partition function)

먼저 분배 함수를 어떻게 이용하는지에 대해서부터 천천히 생각해봅시다. 분배함수는 시스템의 에너지로써 얻어지는 볼츠만 인자를 모든 경우에 대해 합한 값입니다.
 

분배 함수의 정의(definition of the partition function)
만약 계가 특정 상태 $\alpha$일 때 에너지 $E_\alpha$를 가진다면, 그 시스템의 분배함수는 다음과 같이 얻어진다.
$$\large{\mathcal{Z}=\sum\limits_{\alpha}e^{-\beta E_\alpha}}$$
$\rightarrow$ 어떤 시스템에 대해서 Z를 구할 수 있다면, 에너지 $E$, 엔트로피 $S$, Helmholtz 자유 에너지 $F$ 등을 유도할 수 있다. 즉, $Z$는 열역학적인 상태함수에 대한 정보를 "압축"하고 있다.

 
여기서 분배 함수의 심오한 의미가 나타납니다. 분배 함수는 사실 정규화를 해주기 위한 단순한 계수가 아니라, 시스템의 정보를 압축하고 있는 중요한 데이터라고 할 수 있습니다. 통계역학이 주는 강력함은, 모두 분배 함수로부터 발생합니다. 이것을 "정확하게" 알기만 한다면, 계의 에너지라던가 엔트로피, 헬름홀츠 자유 에너지 같은 상태 함수들을 쉽게 유도할 수 있습니다.
따라서 통계 역학 문제를 해결하는 방법은 다음과 같이 간단하게 요약할 수 있습니다.

말로는 정말 쉬운데, 실제 문제에서도 적용이 가능한지 예제를 통해 구해봅시다.

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다음의 예제는 두 시스템(2준위계와 단순 조화 진동자)에 대한 분배 함수를 묻고 있습니다.
 

예제 20.1

(a) 2준위계(two-level system)에 대하여 분배함수를 구하여라.

 
먼저, 2준위계 시스템을 알아봅시다. 2준위계는 말 그대로 에너지 준위가 두 개뿐인 시스템을 의미합니다. 여기서 간단히 에너지에 대해 짚고 넘어가자면, 우리는 에너지의 절대적인 값을 알 수 없습니다. 예를 들면, 어떤 물체가 운동할 때 에너지를 속도의 제곱을 취함으로써 구한다고 생각하지만 실제로는 질량 자체의 에너지도 고려해야하며, 입자 간 상호작용...등의 것들을 고려해야 정확합니다.
 
하지만 이것을 모두 다 알 수는 없습니다. 그래서 우리가 확실하게 이용할 수 있는 부분은 에너지의 기준이 바뀌어도 그 차이는 변하지 않는다는 사실입니다.
따라서 2준위계의 에너지를 각각 ±a(a는 임의의 상수)의 형태로 설정할 수 있습니다. 스핀계의 가정과 매우 유사합니다. 이 풀이에서는 두 준위 간의 에너지 간격이 $\Delta$라고 가정하고, 각각 ground state: $-\Delta/2$, excited state: $\Delta/2$라고 가정하겠습니다.
 

(sol) 이준위계의 에너지 준위를 고려하여 분배함수의 정의를 이용하면
$$\large{\begin{align} \mathcal{Z}&=\sum\limits_{\alpha}{e^{-\beta E_\alpha}} = e^{\beta\Delta/2}+e^{-\beta\Delta/2}\\
&=2\cosh{\left(\frac{\beta\Delta}{2}\right)}\end{align}}$$

 
그래서 이런 경우는 에너지 상태가 정확히 두 가지로 갈라지게 되는데요, 이러한 시스템을 가지는 경우는 spin계 입니다. 따라서 2준위계를 잘 분석하면 스핀에 대한 통계역학을 적용할 때 도움이 됩니다. 결론적으로 2준위계의 분배함수는 $\cosh$(쌍곡코사인함수) 형태로 나타나네요.
 

(b) 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)에 대하여 분배함수를 구하여라.

 
이번에는 단순 조화 진동자에 대해서 분석해봅시다. 만약 시스템의 에너지를 결정하는 양자수를 $n$이라고 한다면, $n=0, 1, 2, \dots$ 의 형태로 존재하게 됩니다. 그리고 에너지는 $(n+1/2)$에 비례하는 형태를 가졌었죠(양자역학에서의 단순 조화 진동자를 생각해봅시다!).
 

(sol) 시스템 에너지 양자수를 $n=0,1,2, \dots$라고 할 때, 에너지는 $E=\left(n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega$로 주어지므로,
$$\large{\begin{align} \mathcal{Z}&=\sum_{\alpha}{e^{-\beta E_\alpha}}=\sum_{n}{e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega }} = e^{-\frac{\beta}{2} \hbar \omega} \sum_{n=0}^{\infty} {e^{-n \beta \hbar \omega}} \\ & =\frac{e^{-\frac{1}{2} \beta \hbar \omega}}{1-e^{- \beta \hbar \omega}} \end{align}}$$
여기서 summation은 무한등비급수를 의미하므로, 무한등비급수 공식을 이용하였다.

 
이것보다 조금 더 복잡한 예시가 2가지 남았습니다. 그것은 바로 N개의(유한한) 등간격 에너지 준위 집합과, 2원자 분자의 회전을 고려하는 시스템입니다. 이것은 다음 예제에서 바로 알아보도록 합시다.
 

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예제 20.2

먼저 N준위계부터 분석해보도록 합시다. 에너지 준위가 N개인 시스템입니다.
 

(c) $N$준위계에 대해 분배함수를 유도하여라.

 
이것 또한 단순 조화 진동자와 크게 다를 것이 없습니다. 그저 합 상한이 바뀌었을 뿐입니다. 이것은 유한등비급수의 합을 취해주면 됩니다. 대신 합 상한이 $N$입니다.
 

(sol) $N$준위계의 에너지 등간격을 조화 진동자와 유사하게 $\hbar \omega$라고 하자. 그러면 $E_n = 0,\, \hbar\omega,\, 2\hbar\omega,\, \dots$로 나타나므로, 분배함수는
$$\large{\mathcal{Z} = \sum_{\alpha} e^{-\beta E_\alpha} = \sum_{j=0}^{N-1} e^{-j \beta \hbar \omega} = \frac{1 - e^{-N \beta \hbar \omega}}{1 - e^{-\beta \hbar \omega}}}$$

 
 
유한등비급수의 합 $\large{\sum\limits_{n=0}^{N}{r^{-n}}=\frac{a-r^{N-1}}{1-r}}$을 이용하였습니다.
 
다음은 회전 에너지 준위에 대한 분배함수입니다.
 

(d) 회전 에너지 준위계에 대한 분배함수를 유도하여라.

 
먼저 회전 에너지에 대한 연산자를 잘 생각해봅시다. 이것은 각운동량 연산자의 제곱 $\hat{J}^2$을 $2I$로 나눈 양입니다.
그리고 각운동량 연산자의 제곱에 대한 고윳값(eigenvalue)는 $\hbar^{2}J(J+1)$이었죠. 즉, 어떤 파동함수 $\psi$에 각운동량 제곱 연산자를 취하면 $\hat{J}^2 \left | \psi \right>= \hbar^{2}J(J+1) \left | \psi \right>$을 얻습니다. 따라서 우리는 회전 에너지 $E_{rot}$를 얻기 위해, 각운동량 제곱 연산자의 고윳값을 $2I$로 나누어주기만 하면 됩니다.
 

각운동량 제곱 연산자의 고윳값 $\hbar^{2}J(J+1)$이고, 이것을 $2I$로 나누어주면 $E_{rot}=\frac{\hbar^2 J(J+1)}{2I}$를 얻는다. 이때, 축퇴수(degeneracy)를 고려하여야 한다. degeneracy는 $2J+1$로 나타나므로, 이것을 계수로 취급하여 분배 함수의 정의에 대입하면,

$$\large{\mathcal{Z}=\sum_{\alpha}{e^{-\beta E_\alpha}}=\sum_{J=0}^{\infty} {\textcolor{red}{(2J+1)}e^{-\beta \hbar^2 J(J+1) / 2I}} }$$

이때 각각의 state에 대해 2J+1개의 degeneracy(축퇴, 겹침)이 존재하므로 분배함수를 구할 때 계수로써 (2J+1)이 붙습니다. 밑에서 이야기하겠지만, 딱봐도 이러한 시스템의 분배 함수 꼴을 보면 다른 상태함수를 유도하기에 지저분한 함수임을 알 수 있습니다. 그래서 우리는 적절한 근사를 이용하여 다른 상태함수를 유도할 것입니다.
 
 
 

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상태 함수 구하기(finding the state function)

자, 지금까지 분배 함수를 열심히 유도해보았으니 분배 함수가 주는 강력함을 누려봅시다. 상태 함수를 구해볼텐데요, 당연히 열역학적인 상태 함수로부터 기본적인 정의가 이루어졌으므로 열역학 항등식/맥스웰 관계를 알고 있다면 훨씬 더 편하게 유도가 가능합니다.

내부 에너지 U 유도

먼저 내부 에너지(internal energy)에 대해서 그 정의를 살펴보면

단순히 에너지의 기댓값 $\left<E \right>$와 같다는 것을 알 수 있습니다. 사실 4장에서 연습문제를 풀때 종종 이용하던 테크닉인데, 이것도 한 번 살펴봅시다. 분자 항에 주목하면, 계수로 에너지 항이 볼츠만 인자 앞으로 곱해진 것을 다음과 같이 미분으로 해석할 수 있습니다.

$$\large{\sum_{i}{E_i e^{-\beta E_i}}=-\frac{\partial \mathcal{Z}}{\partial \beta}}$$

그리고 분모에는 분배함수가 존재해야하니까, ln 형태의 분배함수를 β로 미분해주면 더욱 더 간단하게 내부 에너지 U를 얻을 수 있습니다.
여기서, U를 온도 T에 대한 함수로 나타내고 싶다면 chain rule(연쇄 법칙)을 적용하여 그 형태를 달리할 수 있습니다.

이러한 표현에서, 역함수의 미분을 이용하여 역수로 바꾸어 주었습니다. 그리고 이 항을 다음과 같이 정리할 수 있죠.

따라서 온도 T로 나타낸 내부 에너지는 위와 같습니다.

엔트로피 유도

이제 엔트로피를 유도해봅시다. 먼저 분배함수가 자주 쓰이는 것은 확률 분포 함수를 얻기 위해서였습니다. 따라서 확률과 분배 함수 사이의 관계를 유도하면, 다음과 같습니다.

그리고 우리는 이러한 확률을 엔트로피에 적용할 것이므로 로그를 취해봅시다. 왜냐하면 Gibbs의 엔트로피 정의가 다음과 같이 로그꼴로 나타났기 때문이죠!

이러한 정의에 따라 대입을 통해 엔트로피를 구해주기만 하면 됩니다.

이때, sum을 취하는 term들을 보면 각각 에너지의 기댓값, 그리고 확률의 전체 합은 1이라는 정의를 통해 수식을 정리할 수 있고,

각각의 항에 존재하는 β를 1/kBT 형태로 풀어써주면 됩니다.

Helmholtz 자유 에너지 유도

이번엔 Helmholtz 자유 에너지 F를 유도해봅시다. 정의는 다음과 같습니다.

이때 엔트로피 항 S가 존재하는데 S는 위에서 구한 표현을 그대로 대입해주겠습니다. 그러면 F는 다음과 같이 분배 함수의 로그 형태로 나타나는데

양변에 지수를 씌워줌으로써 더 간단하게 표기할 수도 있네요. 이제 웬만한 상태 함수들을 구하는 규칙이 보였을 겁니다. 그러면 엔트로피를 구해봅시다. Helmholtz free energy에 Maxwell relation(맥스웰 관계)를 이용하여, 엔트로피를 다음과 같이 자유 에너지의 편미분 형태로 표현할 수 있습니다.

그러면, 우리가 위에서 구했던 F를 온도 T에 대해 V를 고정시키고 미분을 해주면 됩니다. 그렇게 해서 얻어진 엔트로피의 결과입니다.
어쩌면 많이 복잡해서 어떻게 외우나 걱정스럽겠지만 사실 외울 필요가 전혀 없습니다. 열역학 항등식과, 맥스웰 관계를 적당히 쓸 줄만 안다면(1학기 때 적당히 공부만 했다면...) 충분히 유도가 가능하니까요.
이러한 방법으로 나머지 상태 함수도 구해봅시다. 압력 p와 등적 열용량 CV를 구합니다.

나머지(엔탈피 H, 깁스 자유 에너지 G)

그리고 엔탈피 H와 깁스 자유 에너지 G도 유도할 수 있습니다!

그러면, 기본적인 상태 함수를 유도하는 방법을 익혔으니 지금까지 다루었던 시스템에서 상태 함수를 "뽑아"봅시다.

먼저 2준위계입니다. 분배 함수를 그대로 써주고,

상태 함수의 정의에 따라 분배함수를 대입하여 전개만 했습니다. 정말 간단합니다. 그리고 여기에 이어서 등적 열용량까지도 약간의 미적분학 테크닉을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

그리고 F와 S는 다음과 같습니다!

(모두 상태함수가 가지는 정의를 이용하여 대입만 하여 구했기에 자세한 풀이가 없는 겁니다)
그러면 이렇게 얻어진 각각의 상태함수를, 열에너지 kBT에 대한 그래프로 표현하면 다음과 같습니다.

2준위계(2 level system)에서의 열에너지에 따른 엔트로피/열용량/에너지

이때 정확히는 모르지만, 등적 열용량을 나타내는 곡선 중간에 peak가 보입니다. 이것을 쇼트키 비정상(Shottky anomaly)이라고 합니다. 이것을 자세하게 설명하기 전에 온도의 극한을 고려하면서 그래프를 해석해보죠. 먼저 내부 에너지는 온도가 높아지면서 0에 수렴합니다. -0.5의 값에서 시작하게 되는데요. 이것은 온도가 매우 낮을 때 다들 ground state(에너지가 가장 낮은 상태)에 존재하기 때문입니다.

그리고 온도가 높아짐에 따라, 1st excited state에 입자들이 올라가기 시작합니다. 그러다가 가장 있을법한 상태(most probable state)에 도달하게 되는데, 이때가 엔트로피가 최대에 가까워지는 지점입니다. 그래서 결국 확률적으로 두 상태에 절반씩 고르게 분포하게 되죠. 따라서 평균 에너지가 0에 가까워집니다.
그리고 엔트로피는 ln 2, 약 0.693에 수렴합니다.

위의 이유와 동치입니다. 두 가지의 경우를 균등하게 분포하도록 가지기 때문에, 엔트로피가 ln 2에 수렴합니다. 엔트로피의 기본적인 정의에 따르면 미시 상태 수에 로그를 취하는 것으로 나타났죠? 따라서 상태수가 2인 것을 의미하는데, 직관적으로 확인해보아도 맞는 말이죠.
마지막으로 열용량에 대해서 생각해볼 수 있습니다. 열용량은 저온/고온의 상태로 따라가면 열용량이 각각 0으로 수렴하는 결과를 확인할 수 있습니다.

이것은 저온의 경우, 열에너지가 에너지 준위 간격보다 작아서 대부분이 ground state에 존재하기 때문이고, 반대로 고온의 경우 에너지 상태 점유율이 동등해져 유한한 에너지로 상태를 변화시키기 어럅습니다. 이에 따라 각각 열용량이 0에 수렴하게 되는 것입니다.
그리고 위에서 언급했던, 보라색 원으로 표시가 되어있는 지점이 열용량이 최대가 되는 지점인데요, 이렇게 저온과 고온 그 사이 중간지점이 “Shottky anomaly(쇼트키 비정상)”가 되는 것입니다.

이때는 열에너지가 에너지 간격과 거의 유사해지는 온도인데요, 이러한 경우는 에너지 상태 변화를 일으킬 수 있는 시점이기 때문에 이때 열용량이 최대가 됩니다. 위에서 이야기한 “내부 에너지와 엔트로피의 균형이 잡히는 온도”가 되는 것이죠. 이러한 Shottky anomaly는 유한한 energy level system에 적용됩니다.
이제 회전 에너지 준위계에 대한 분석을 해봅시다.

먼저 위에서 구했던 분배 함수를 써줍시다. 이 함수는 합을 취하기 굉장히 어려운 형태입니다. 그래서 적절한 근사를 취해주어야 합니다. 만약, 충분히 고온이라고 생각하면 지수의 위가 커지게 되면서, 전체적인 지수값은 0에 수렴하도록 가까워집니다. 이때 변화량 또한 점점 줄어들죠. 따라서 함숫값이 거의 변하지 않게 되면서 sum을 적분으로 취급해도 유사한 값을 주는 상태가 됩니다.

따라서 충분한 고온이라는 조건 하에, 적분으로 근사시켜도 좋습니다. 이때 이 적분은 치환적분을 취하면 간단해집니다. 따라서 아래의 관계식을 얻어서,

피적분 함수를 J에 대한 미분꼴로 나타낼 수 있습니다. 우리는 그것을 적분해주면 되므로, (d/dJ)만 지워주면 역도함수를 얻을 수 있습니다. 그리고 위끝과 아래끝에 무한대와 0을 대입해주면,

을 얻게 됩니다. 그러면 이를 통해서 내부 에너지 U와 등적 열용량 CV 또한 유도할 수 있습니다.

아까 2준위계에 대해 나타냈던 것과 마찬가지로, 이번에도 그래프를 통해서 경향성을 살펴볼까요.

2원자 분자, 회전 에너지 준위 시스템에서의 열에너지에 따른 에너지/엔트로피/열용량

2준위계와 크게 다른 점은 내부 에너지가 온도에 대해 선형적(linearity)으로 의존한다는 점입니다.

핵심 아이디어(The big idea)

그러면 통계역학의 핵심적인 내용만 다시 한 번 정리해봅시다.

이 두 가지로써 끝입니다. 즉, 분배 함수를 잘 찾고(이것이 가장 어려움), 이 Z를 이용하여 상태 함수를 유도하면 됩니다.
그리고, 여러 개의 시스템을 분석하면서 얻었던 데이터를 정리하여 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

분배 함수 통합(Addition of the partition function)

우리는 지금까지 단일 입자와 같은 계에 대해서 다루었습니다만, 실제로 세상을 구성하는 다양한 물질들은 굉장히 많은 수의 입자로 이루어져있고, 그러면 입자의 수만큼 다양한 독립 변수에 의존하는 분배 함수를 계산하여야 합니다. 따라서 이번 소단원에서는 분배 함수가 더해지는 것을 알아보도록 하겠습니다. 만약 어떤 시스템이 a와 b에 의존한다고 생각해봅시다.

그러면 그에 따른 에너지 상태 E를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

그러면, a의 기여에 의한 i번째 level의 에너지를 Ei(a), b의 기여에 의한 j번째 level의 에너지를 Ej(b)라고 하면 이것의 합이 전체 에너지가 됩니다.
그러면 분배함수는, 이를 그대로 볼츠만 인자에 넣어서 구해주면 됩니다.

그러면, 당연히 에너지는 지수 항에 올라가 있으므로 분배 함수 자체는 Z1과 Z2의 분배함수끼리의 곱으로 나타납니다. 로그 형태로 쓰면 합으로 표현할 수 있겠습니다.
그럼 이번에는 N개의 독립적인 Simple Harmonic Oscillator로부터 시작해서 다양한 N개의 독립적인 시스템에 대한 예제를 풀어봅시다.

N개의 독립적인 단순 조화 진동자 같은 경우는 N제곱만 취해주면 됩니다. 각 진동자가 동등하다는 가정을 하면 말이죠.

그리고 진동과 회전 자유도를 모두 갖는 2원자 분자는, 우리가 지금까지 구했던 진동에 대한 분배 함수와 회전에 대한 분배 함수를 곱해주기만 하면 됩니다.
그리고 이러한 논의를 통해 퀴리-바이스 법칙(Curie-Weiss Law)을 유도할 수도 있습니다.

퀴리-바이스 법칙은 상자성체의 자기 감수율(magnetic susceptability)이 계의 온도에 반비례한다는 법칙이었습니다. 17장에서 열역학 퍼텐셜을 다룰 때 언급했던 법칙이죠. 우리는 오늘, 통계역학에서의 분배 함수를 이용하여 퀴리-바이스 법칙을 유도할 것입니다.

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퀴리-바이스 법칙의 유도(Curie-Weiss Law)

먼저 기본적인 계의 상태를 알기 위해 예제를 풀어봅시다. 우리는 '1/2 스핀 상자석'에 대해서 다룰 것입니다. 스핀값이 1/2인 입자를 고려할 때, 각 스핀 상태에 따라 고유 상태(eigenstate)는 2개로 나타납니다.

바로 up과 down인 상태인데요, 원래대로라면 이들은 degenerate되어 같은 에너지 상태를 갖지만, 외부에서 자기장 B를 인가시킨다면 상황이 달라집니다.
우리는 자기장을 z 방향(up 스핀 방향)으로 입사시킨다고 가정합시다. 그러면 up spin과 down spin의 경우 서로 반대의 자기 모멘트(magnetic dipole moment)를 가지므로, 당연히 자기 퍼텐셜 에너지 E도 달라집니다.

그래서 결과론적으로 에너지를 비교해보면, 가장 첫번째 시스템으로 다룬 2준위계와 매우 유사한 형태를 띱니다. 0이라는 기준점으로부터 절댓값으로는 같은 양을 가지고 그 부호가 다르네요.
따라서 스핀계를 2-level system으로 해석할 수 있습니다. 먼저 한 입자에 대한 분배 함수를 Z1이라고 하면,

위와 같이 cosh 함수를 얻게 됩니다. 만약 이러한 입자가 N개 있고, 각 스핀계끼리 상호작용하지 않는다고 가정하면, 전체 N개 입자에 대한 분배 함수 ZN은

로 나타낼 수 있습니다. 그런데, 우리가 이렇게 분배 함수 자체를 구하는 목적은 결국 계의 상태를 기술하는 상태 함수를 얻기 위해서입니다. 그러나 스핀의 정렬로 인한 상태 결정은 그리 단순하지는 않습니다. 고려해야할 요소가 두 가지 있기 때문입니다.

자연은 여러가지 방면에서 '무언가'가 최소화되거나 최대화되려는 성질을 가지고 있습니다. 우리가 고려해야 할 것은 전체 에너지 U와 엔트로피 S 입니다. 에너지는 가장 낮은 상태를 선호하고, 엔트로피는 높은 상태를 선호하는 것이 우주의 섭리인 셈입니다.
따라 임의의 스핀 정렬에 대한 예시를 살펴보면, 한 방향으로 정렬되어 있는 스핀계의 경우 에너지는 낮을 수 있지만 확률적으로 이러한 상태를 가지기는 쉽지 않습니다. 반대로 고르게 서로 반대로 뒤집혀 있는 스핀계는 확률적으로는 가장 그럴듯 하나, 에너지가 상대적으로 높은 상태가 됩니다.

따라서, 우리가 고려해야 할 것은 U와 S 사이의 "균형"입니다. 이것의 적절한 조화가 실제 자연의 모습을 기술하는 것을 가능케 할 것입니다. 따라서, 많고 많은 상태 함수 중에서 Helmholtz free energy를 고려할 것입니다. 변수로써 내부 에너지 U와, 엔트로피 S를 포함하고 있기 때문이죠. F의 정의에 따라 분배 함수를 이용하여 F를 구해주면 다음과 같습니다.

이때 우리는 스핀계, 즉 자성을 다루고 있기 때문에 자기 모멘트 m을 고려하는 항등식을 만들어야 합니다. 16장에서 다룬 열역학 항등식과 맥스웰 관계를 이용하여,

자기 모멘트 m을 B에 대한 F의 편미분으로써 정의할 수 있습니다. 우리는 F를 얻었으므로, 그대로 대입해서 구해주면 됩니다. 결과는

입니다. tanh가 결과적으로 등장하는데요, tanh 함수는 일종의 시그모이드 함수로써 각각 음의 무한대 그리고 양의 무한대에서 천천히 증가하는 함수가 되는데요. 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 그래프의 선이 두 개 있습니다. 붉은 선은 높은 온도에서의 곡선이고, 푸른 선은 낮은 온도에서의 곡선입니다. 여기서 자기 모멘트가 커지는 경우는 온도 T와 자기장 B에 의해서 결정됩니다. 온도가 낮고 B가 매우 크다면, 자기 모멘트가 커지고, 온도가 높고 B가 작다면 반대로 자기 모멘트가 작아집니다.
여기서 자화 밀도 M을 도입합니다. 자기 모멘트를 부피로 나누어 준 양이 됩니다.

그리고 자기 감수율의 정의는 자화밀도를 H로 나눈 값이었죠. 우리는 다양한 시스템 중에서도 상자성 시스템을 고려합니다. 일반적으로 자기감수율은 작은 B에서 구해지므로, 우리는 자화 밀도 M을 B=0인 지점에서 근사할 필요가 있습니다. tanh x는 x<<1인 경우에 x로 간단하게 근사될 수 있습니다(taylor series).

따라서 M은 위와 같은 형태로 근사시킬 수 있고, 자기 감수율과 자기장 B에 대한 관계에 따라서 값을 구해주면,

자기 감수율이 온도에 반비례하는 형태의 수식이 나오게 됩니다. 이것은 퀴리-바이스 법칙과 일맥상통하는 결과임을 알 수 있네요.